《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 复兴号列车的速度为 $ 350km/h $, 该速度的 $ 2 $ 倍再加上 $ 100km/h $ 不超过民航飞机的最低时速, 该速度超过了普通客车速度的 $ 3 $ 倍, 请你用不等式组表示这三种交通工具的速度关系.

答案： 跟踪训练
1.解：设复兴号列车的速度为$v_1$，民航飞机的最低速度为$v_2$，普通客车的速度为$v_3$，
则有$\begin{cases}2v_1 + 100 \leqslant v_2,\\v_1 ＞ 3v_3.\end{cases}$

二、作差法比较大小

【知识梳理】

两个实数大小比较的基本事实

答案： 二、$a - b ＞ 0\ a - b = 0\ a - b ＜ 0$ 差

[例2]
设 $ x ＜ y ＜ 0 $, 试比较 $ (x^{2}+y^{2})(x - y) $ 与 $ (x^{2}-y^{2})(x + y) $ 的大小.

答案： 例2 [解] $(x^{2} + y^{2})(x - y) - (x^{2} - y^{2})(x + y)$
$=(x - y)(x^{2} + y^{2}) - (x - y)(x + y)^{2}$
$=(x - y)[(x^{2} + y^{2}) - (x + y)^{2}]$
$=(x - y)( - 2xy)$.
由于$x ＜ y ＜ 0$，所以$x - y ＜ 0$，$-2xy ＜ 0$，
所以$(x - y)( - 2xy) ＞ 0$，
即$(x^{2} + y^{2})(x - y) ＞ (x^{2} - y^{2})(x + y)$.

变式训练
若将[例2]中“$ x ＜ y ＜ 0 $”变为“$ x ＞ y ＞ 0 $”, 这两个代数式的大小如何?

答案： 变式训练
解：$(x^{2} + y^{2})(x - y) - (x^{2} - y^{2})(x + y) = - 2xy(x - y)$.
由$x ＞ y ＞ 0$得$-2xy ＜ 0$，$x - y ＞ 0$，
$\therefore - 2xy(x - y) ＜ 0$，
$\therefore(x^{2} + y^{2})(x - y) ＜ (x^{2} - y^{2})(x + y)$.

一般地, $ \forall a,b \in \mathbf{R} $, 有 $ a^{2}+b^{2} $$\geqslant$$ 2ab $, 当且仅当$a = b$时, 等号成立.

答案： 三、$\geqslant a = b$

[例3]
已知 $ a ＞ 0 $, 求证: $ a+\frac{1}{a} \geq 2 $.

答案： 例3 [证明] 法一：利用$a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab$.
$\because a ＞ 0$，
$\therefore a + \frac{1}{a} = (\sqrt{a})^{2} + (\frac{1}{\sqrt{a}})^{2} \geqslant 2\sqrt{a} · \frac{1}{\sqrt{a}} = 2$，
当且仅当$a = 1$时，等号成立，$\therefore a + \frac{1}{a} \geqslant 2$.
法二：$\because a + \frac{1}{a} - 2 = (\sqrt{a})^{2} + (\frac{1}{\sqrt{a}})^{2} - 2 = (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}})^{2} \geqslant 0$，
$\therefore a + \frac{1}{a} \geqslant 2$.

2. (1)已知 $ x,y \in \mathbf{R} $, 且 $ x^{2}+y^{2}=4 $, 试比较 $ xy $ 与 $ 2 $ 的大小关系.
(2)设 $ a ＞ b ＞ 0 $, 求证: $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $.

答案： 跟踪训练
2.
(1)解：由重要不等式可知$x^{2} + y^{2} \geqslant 2xy$（当且仅当$x = y$时取等号），
即$4 \geqslant 2xy$，
$\therefore xy \leqslant 2$.
(2)证明：$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$
$\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore ab ＞ 0$，$b - a ＜ 0$，
$\therefore \frac{b - a}{ab} ＜ 0$，即$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} ＜ 0$，$\therefore \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$