《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一、函数单调性的定义
【知识梳理】
单调性的定义

如果函数$y = f(x)$在区间$I$上单调递增或单调递减，那么就说函数$y = f(x)$在这一区间具有(严格的)单调性，区间$I$叫做$y = f(x)$的
注意：
(1)函数的单调递增(单调递减)是针对定义域$D$内的某个区间$I$而言的，显然$I \subseteq D$.
(2)定义中$x_{1},x_{2}$有三个特征：①$x_{1},x_{2}$属于同一个区间；②任意性，$x_{1}$与$x_{2}$不能用$I$上的特殊值代替；③有序性，通常规定$x_{1}＜x_{2}$.

答案： 重点串讲.能力提升
一、$f(x_1) ＜ f(x_2)$ $f(x_1) ＞ f(x_2)$ 增函数 减函数 单调递增 单调递减 单调区间

[例1] 作出函数$y = -x^{2}+2|x| + 3$的图象，并指出它的单调区间.

答案：
[解] 根据绝对值的意义，
$y = -x^2 + 2|x| + 3$
$=\begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & x \geq 0, \\ -x^2 - 2x + 3, & x ＜ 0 \end{cases}$
$=\begin{cases} -(x - 1)^2 + 4, & x \geq 0, \\ -(x + 1)^2 + 4, & x ＜ 0. \end{cases}$
作出函数图象如图所示，

根据图象可知，函数在区间$(-\infty, -1], [0, 1]$上是增函数；函数在区间$(-1, 0), (1, +\infty)$上是减函数。