《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一、同角三角函数的基本关系
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
平方关系：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
商数关系：$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=$$\tan\alpha$$(\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z})$.
这就是说，同一个角$\alpha$的正弦、余弦的平方和等于$1$，商等于角$\alpha$的正切.
2.同角三角函数基本关系的变形
(1)$\sin^2\alpha=$$1-\cos^{2}\alpha$；$\cos^2\alpha=$$1-\sin^{2}\alpha$.
(2)$\sin\alpha=$$\cos\alpha\tan\alpha$；$\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$.
注意：
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立.
(2)对于$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$对一切$\alpha\in\mathbf{R}$恒成立，而$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$仅对$\alpha\in\{\alpha|\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})\}$成立.

答案： 一、1.$\tan\alpha$ 2.
(1)$1-\cos^{2}\alpha$ $1-\sin^{2}\alpha$
(2)$\cos\alpha\tan\alpha$

[例1] 已知$\cos\alpha=-\frac{8}{17}$，求$\sin\alpha,\tan\alpha$的值.

答案： 例1 [解] $\cos\alpha=-\frac{8}{17}＜0$,$\therefore\alpha$是第二或第三象限角.
当$\alpha$是第二象限角时，则$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-(-\frac{8}{17})^{2}}=\frac{15}{17}$,
$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{15}{8}$.
当$\alpha$是第三象限角时，则$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=-\frac{15}{17}$,$\tan\alpha=\frac{15}{8}$.

▶跟踪训练 1.已知$\tan\alpha=\frac{4}{3}$，且$\alpha$是第三象限角，求$\sin\alpha,\cos\alpha$的值.

答案： ●跟踪训练 1.解：由$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4}{3}$
得$\sin\alpha=\frac{4}{3}\cos\alpha$.①
又$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$,②
由①②得$\frac{16}{9}\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$,即$\cos^{2}\alpha=\frac{9}{25}$.
又$\alpha$是第三象限角，
$\therefore\cos\alpha=-\frac{3}{5},\sin\alpha=\frac{4}{3}\cos\alpha=-\frac{4}{5}$.

[例2] 已知$\tan\alpha=2$.
(1)求$\frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$的值；
(2)求$2\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$的值.

答案： 例2 [解]
(1)法一(代入法)：
$\because\tan\alpha=2,\therefore\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2,\therefore\sin\alpha=2\cos\alpha$,
$\frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}=\frac{2\cos\alpha - 3\cos\alpha}{2\cos\alpha + \cos\alpha}=-\frac{1}{3}$.
法二(弦化切)：
$\because\tan\alpha=2$,
$\frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-3}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}=\frac{\tan\alpha - 3}{\tan\alpha + 1}=\frac{2 - 3}{2 + 1}=-\frac{1}{3}$.
(2)$2\sin^{2}\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^{2}\alpha$
$=\frac{2\sin^{2}\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha}=\frac{2\tan^{2}\alpha - \tan\alpha + 1}{\tan^{2}\alpha + 1}$
$=\frac{2×4 - 2 + 1}{4 + 1}=\frac{7}{5}$.