《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 1] 解下列不等式：
(1)$\frac {x+1} {2x-1}＜0$;(2)$\frac {1-x} {3x+5}\geq0$;(3)$\frac {x-1} {x+2}＞1$.
[课堂笔记]

答案： [解]
(1)原不等式等价于(x+1)(2x-1)＜0，
$\therefore$ 原不等式的解集为$\left\{x \mid -1＜x＜\frac{1}{2}\right\}$。
(2)原不等式等价于$\begin{cases}(1-x)(3x+5) \geqslant 0, \\ 3x+5 \neq 0, \end{cases}$
$\therefore \left\{x \mid -\frac{5}{3}＜x \leqslant 1\right\}$。
(3)原不等式等价于$\frac{x-1}{x+2}-1＞0$，
$\therefore \frac{-3}{x+2}＞0$，$\therefore x+2＜0$，$\therefore$ 原不等式的解集为$\{x \mid x＜-2\}$。

▶跟踪训练 1. 解下列不等式：
(1)$\frac {x+1} {x-3}\geq0$;(2)$\frac {5x+1} {x+1}＜3$.

答案： 1.解：
(1)不等式$\frac{x+1}{x-3} \geqslant 0$可转化成不等式组$\begin{cases}(x+1)(x-3) \geqslant 0, \\ x \neq 3, \end{cases}$
解得$x \leqslant -1$或$x＞3$，
即原不等式的解集为$\{x \mid x \leqslant -1,或x＞3\}$。
(2)不等式$\frac{5x+1}{x+1}＜3$可改写为$\frac{5x+1}{x+1}-3＜0$，即$\frac{2(x-1)}{x+1}＜0$。
可将这个不等式转化成$2(x-1)(x+1)＜0$，
解得$-1＜x＜1$，
所以原不等式的解集为$\{x \mid -1＜x＜1\}$。

[例 2] 已知关于$x$的不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x\mid2＜x＜3\}$，求关于$x$的不等式$cx^{2}+bx+a＜0$的解集.

答案： [解] 由不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x \mid 2＜x＜3\}$可知$a＜0$，且$2$和$3$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根，由根与系数的关系可知
$\frac{b}{a}=-5$，$\frac{c}{a}=6$，故$\frac{b}{c}=-\frac{5}{6}$。
又由$a＜0$知$c＜0$，
故不等式$cx^{2}+bx+a＜0$，
即$x^{2}+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}＞0$，即$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}＞0$，
解得$x＜\frac{1}{3}$或$x＞\frac{1}{2}$，
所以不等式$cx^{2}+bx+a＜0$的解集为$\left\{x \mid x＜\frac{1}{3},或x＞\frac{1}{2}\right\}$。

▶变式训练 若将[例 2]中的条件“关于$x$的不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x\mid2＜x＜3\}$”变为“关于$x$的不等式$ax^{2}+bx+c\geq0$的解集是$\{x\mid-\frac {1} {3}\leq x\leq2\}$”，求不等式$cx^{2}+bx+a＜0$的解集.

答案： ●变式训练
解：法一：由$ax^{2}+bx+c \geqslant 0$的解集为$\left\{x \mid -\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\right\}$知$a＜0$，
且$-\frac{1}{3}$，$2$为方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根，
$\therefore \left(-\frac{1}{3}\right) × 2=\frac{c}{a}$，$-\frac{1}{3}+2=-\frac{b}{a}$
$\therefore b=-\frac{5}{3}a$，$c=-\frac{2}{3}a$，
$\therefore$ 不等式$cx^{2}+bx+a＜0$变为$\left(-\frac{2}{3}a\right)x^{2}+\left(-\frac{5}{3}a\right)x+a＜0$，
即$2ax^{2}+5ax-3a＞0$。
又 $\because a＜0$，$\therefore 2x^{2}+5x-3＜0$，
故所求不等式的解集为$\left\{x \mid -3＜x＜\frac{1}{2}\right\}$。
法二：由已知得$a＜0$且$-\frac{1}{3}+2=-\frac{b}{a}$，$\left(-\frac{1}{3}\right) × 2=\frac{c}{a}$，则$c＞0$。
设方程$cx^{2}+bx+a=0$的两根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，
则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{c}$，$x_{1}x_{2}=\frac{a}{c}$，
其中$\frac{a}{c}=\frac{1}{(-\frac{1}{3}) × 2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{b}{c}=-\frac{1}{-\frac{1}{3}+2}=-\frac{5}{2}$。
$\therefore x_{1}=-3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
$\therefore$ 不等式$cx^{2}+bx+a＜0$的解集为$\left\{x \mid -3＜x＜\frac{1}{2}\right\}$。