《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

▶跟踪训练 1. 已知函数$f(x)=-x - 1,x\in\{1,2,3,4\}$，用列表法表示函数$y = f(x)$，如表所示. 试用图象法表示函数$y = f(x)$.

答案：
解：用图象法表示函数$y = f(x)$，如图所示。

[例2] 函数$y =\frac{x}{1 + x}$的大致图象是 (A)

答案： A [解析] $y=\frac{x}{1 + x}=\frac{1 + x - 1}{1 + x}=1-\frac{1}{x + 1}$，
可以由$y =-\frac{1}{x}$的图象先向左平移1个单位长度，得到$y =-\frac{1}{x + 1}$，再向上平移1个单位长度，得到$y=\frac{x}{1 + x}$的图象，A正确。

[例3] 作出下列函数的图象：
(1)$y = 2x + 1,x\in[0,2]$；
(2)$y =\frac{2}{x},x\in[2,+\infty)$；
(3)$y = x^{2}+2x,x\in[-2,2]$.

答案：
[解]
(1)当$x\in[0,2]$时，图象是一次函数$y = 2x + 1$的一部分，如图①所示。
(2)当$x\in[2,+\infty)$时，图象是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的一部分，如图②所示。
(3)当$-2\leq x\leq2$时，图象是抛物线$y = x^{2}+2x$的一部分，如图③所示。

▶跟踪训练 2. 先用描点法作函数$y = 2x^{2}-4x - 3(0\leqslant x＜3)$的图象，并指出与函数$y = 2x^{2}$图象的变化关系.

答案：
解：因为$x\in[0,3)$，所以函数图象是抛物线的一部分(如图)。
$y = 2x^{2}-4x - 3=2(x - 1)^{2}-5$，由$y = 2x^{2}$先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到。

[例4] (1) 已知$f(x)$是二次函数，且满足$f(0)=1,f(x + 1)-f(x)=2x$，求$f(x)$.
(2) 已知$f(\frac{1 + x}{x})=\frac{1 + x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x}$，求$f(x)$的解析式.
(3) 已知函数$f(x)$对于任意的$x$都有$f(x)-2f(-x)=1 + 2x$，求$f(x)$的解析式.
[课堂笔记]

答案： [解]
(1)依题意，设$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
由$f(0)=1$，得$c = 1$，
则$f(x)=ax^{2}+bx + 1$。
又因为$f(x + 1)-f(x)=2x$，
所以$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+1-(ax^{2}+bx + 1)=2x$，
即$2ax + a + b = 2x$。
由恒等式性质，得$\begin{cases}2a = 2\\a + b = 0\end{cases}$
所以$\begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}$
所以所求二次函数为$f(x)=x^{2}-x + 1$。
(2)法一(换元法)：令$t=\frac{1 + x}{x}=\frac{1}{x}+1$，
则$t\neq1$，$x=\frac{1}{t - 1}$。
由$f(\frac{1 + x}{x})=\frac{1 + x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x}$
得$f(t)=\frac{1+(\frac{1}{t - 1})^{2}}{(\frac{1}{t - 1})^{2}}+\frac{1}{t - 1}=(t - 1)^{2}+1+(t - 1)=t^{2}-t + 1$，
所以所求函数的解析式为$f(x)=x^{2}-x + 1(x\neq1)$。
法二(配凑法)：因为$f(\frac{1 + x}{x})=\frac{1 + x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x}=(\frac{1 + x}{x})^{2}-1+\frac{1}{x}-\frac{1 + x}{x}=(\frac{1 + x}{x})^{2}-\frac{1 + x}{x}+1$，所以$f(x)=x^{2}-x + 1$。
又因为$\frac{1 + x}{x}=\frac{1}{x}+1\neq1$，
所以所求函数的解析式为$f(x)=x^{2}-x + 1(x\neq1)$。
(3)在$f(x)-2f(-x)=1 + 2x$中，以$-x$代$x$，
可得$f(-x)-2f(-(-x))=1-2x$，
则$\begin{cases}f(x)-2f(-x)=1 + 2x\\f(-x)-2f(x)=1-2x\end{cases}$
消去$f(-x)$，可得$f(x)=\frac{2}{3}x - 1$。