《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 3. 在$12$枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称3次就可以发现这枚假币.

答案： 跟踪训练
3.解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面.将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面.将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币.
若不平衡，则轻的那一枚即是假币.
依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币.
答案：3

1. 下列函数图象与$x$轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 (C)

答案： 随堂测评·自我突破
1.C 解析：只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图象连续不断，可以利用二分法求解.

2. 用二分法求函数$f(x) = 2^x - 3$的零点时，初始区间可选为 (C)

A.$(-1, 0)$
B.$(0, 1)$
C.$(1, 2)$
D.$(2, 3)$

答案： 2.C 解析：由$f(1)＜0$，$f(2)＞0$，零点区间为$(1,2)$.

3. 设$f(x) = \lg x + x - 3$，用二分法求方程$\lg x + x - 3 = 0$在$(2, 3)$内近似解的过程中得$f(2.25) ＜ 0$，$f(2.75) ＞ 0$，$f(2.5) ＜ 0$，$f(3) ＞ 0$，则方程的根落在区间 (C)

A.$(2, 2.25)$
B.$(2.25, 2.5)$
C.$(2.5, 2.75)$
D.$(2.75, 3)$

答案： 3.C 解析：因为$f(2.5)＜0$，$f(2.75)＞0$，由零点存在定理知，方程的根在区间$(2.5,2.75)$内.

4. 若函数$f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 2$的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
$f(1) = -2$ $f(1.5) = 0.625$
$f(1.25) = -0.984$ $f(1.375) = -0.260$
$f(1.438) = 0.165$ $f(1.4065) = -0.052$
那么方程$x^3 + x^2 - 2x - 2 = 0$的一个近似根(精确度$0.05$)为 (C)

A.$1.5$
B.$1.375$
C.$1.438$
D.$1.25$

答案： 4.C 解析：$\because f(1.4065)＜0$，$f(1.438)＞0$，
$\therefore f(1.4065)· f(1.438)＜0$，
该方程的根在区间$(1.4065,1.438)$内.
又$\because |1.4065-1.438|=0.0315＜0.05$，
$\therefore$方程的近似根可以是$1.438$.