《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

▶跟踪训练 3. (1) 已知$f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}$，求$f(x)$.
(2) 已知$f(x)$是一次函数，且$f(f(x)) = 16x - 25$，求$f(x)$.
(3) 已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x(x\neq0)$，求$f(x)$.

答案： 解：
(1)法一(换元法)：令$t=\sqrt{x}+1$，则$x=(t - 1)^{2},t\geq1$，
$\therefore f(t)=(t - 1)^{2}+2(t - 1)=t^{2}-1(t\geq1)$，
$\therefore f(x)$的解析式为$f(x)=x^{2}-1(x\geq1)$。
法二(配凑法)：$f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}=x + 2\sqrt{x}+1 - 1=(\sqrt{x}+1)^{2}-1$。
$\because\sqrt{x}+1\geq1$，$\therefore f(x)$的解析式为$f(x)=x^{2}-1(x\geq1)$。
(2)设$f(x)=kx + b(k\neq0)$，
则$f(f(x))=k(kx + b)+b=k^{2}x+kb + b$，
$\therefore k^{2}x+kb + b=16x - 25$，
$\therefore\begin{cases}k^{2}=16\\kb + b=-25\end{cases}\therefore\begin{cases}k = 4\\b=-5\end{cases}$或$\begin{cases}k=-4\\b=\frac{25}{3}\end{cases}$
$\therefore f(x)=4x - 5$或$f(x)=-4x+\frac{25}{3}$。
(3)$\because f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，
用$\frac{1}{x}$代替$x$得$f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{1}{x}$，
消去$f(\frac{1}{x})$得$f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}(x\neq0)$，
$\therefore$函数$f(x)$的解析式为$f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}(x\neq0)$。

[例5] 求下列函数的值域：
(1)$y = x + 1$；
(2)$y = x^{2}-2x + 3,x\in[0,3)$；
(3)$y =\frac{3x - 1}{x + 1}$；
(4)$y = 2x-\sqrt{x - 1}$.
[课堂笔记]

答案：
[解]
(1)(观察法)
$x\in R$，$\therefore x + 1\in R$，即函数值域是$R$。
(2)(配方法)$y = x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2$，由$x\in[0,3)$，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为$[2,6)$。

(3)(分离常数法)$y=\frac{3x - 1}{x + 1}=\frac{3x + 3 - 4}{x + 1}=3-\frac{4}{x + 1}$。
$\because\frac{4}{x + 1}\neq0$，$\therefore y\neq3$，$\therefore y=\frac{3x - 1}{x + 1}$的值域为$\{y|y\in R$，且$y\neq3\}$。
(4)(换元法)设$t=\sqrt{x - 1}$，则$t\geq0$且$x=t^{2}+1$，
$\therefore y = 2(t^{2}+1)-t=2(t-\frac{1}{4})^{2}+\frac{15}{8}$。
由$t\geq0$，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为$[\frac{15}{8},+\infty)$。

▶跟踪训练 4. 求下列函数的值域：
(1)$y =\sqrt{2x + 1}+1$；
(2)$y =\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$.

答案： 解：
(1)因为$\sqrt{2x + 1}\geq0$，所以$\sqrt{2x + 1}+1\geq1$，即所求函数的值域为$[1,+\infty)$。
(2)因为$y=\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}=-1+\frac{2}{1 + x^{2}}$，
又函数的定义域为$R$，所以$x^{2}+1\geq1$，
所以$0＜\frac{2}{1 + x^{2}}\leq2$，则$y\in(-1,1]$，
所以所求函数的值域为$(-1,1]$。