《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一、对数的换底公式
【知识梳理】
1. 对数换底公式
$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}(a＞0$，且$a \neq 1;b＞0$；$c＞0$，且$c \neq 1)$.
2. 对数换底公式的重要推论
(1)$\log_{a}N = \frac{1}{\log_{N}a}(N＞0$，且$N \neq 1;a＞0$，且$a \neq 1)$.
(2)$\log_{a^{n}}b^{m} = \frac{m}{n}\log_{a}b(a＞0$，且$a \neq 1;b＞0)$.
(3)$\log_{a}b · \log_{b}c · \log_{c}d =$$\log_{a}d$$(a＞0,b＞0$，$c＞0,d＞0$，且$a \neq 1,b \neq 1,c \neq 1)$.
特别地$\log_{a}b · \log_{b}a = 1$.
注意：
(1) 公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即$\log_{a}b = \frac{\lg b}{\lg a}$或$\log_{a}b = \frac{\ln b}{\ln a}$.

答案： $2.(3)\log_{a}d$

[例1] (多选)下列利用换底公式变换正确的有
(BCD)

A.$\log_{3}2 = \frac{\log_{5}3}{\log_{5}2}$
B.$\ln 2 = \frac{1}{\log_{2}e}$
C.$\lg 9 = \log_{4}9 · \lg 4$
D.$\ln 2 = \frac{\ln 3}{\log_{2}3}$

答案： 例1BCD[解析$]\log_{3}2=\frac{\log_{5}2}{\log_{5}3}，$故A错误；
$\ln2=\frac{\log_{2}2}{\log_{2}e}=\frac{1}{\log_{2}e}，$B正确；
$\log_{4}9=\frac{\lg9}{\lg4}，$$\therefore\lg9=\log_{4}9·\lg4，$C正确；
$\log_{2}3=\frac{\ln3}{\ln2}，$故$\ln2=\frac{\ln3}{\log_{2}3}，$D正确.

1. (多选)下列对数与$\log_23$相等的是 (AD)

A.$\log_49$
B.$\frac{\lg3}{\ln2}$
C.$\frac{\lg2}{\lg3}$
D.$\frac{1}{\log_94}$

答案： 1.AD解析$:\log_{4}9=\frac{\log_{2}9}{\log_{2}4}=\frac{2\log_{2}3}{2\log_{2}2}=\log_{2}3，$A正确；
$\log_{2}3=\frac{\lg3}{\lg2}\neq\frac{\lg3}{\ln2}，$B，C错误；
$\frac{1}{\log_{9}4}=\frac{\log_{2}9}{\log_{2}4}=\log_{2}3，$D正确.

[例2] 计算.
(1)$\log_{4}\frac{25}{9} + \log_{2}3 - \log_{0.5}\frac{1}{5}$；
(2)$(\log_{3}2 + \log_{2}3)^{2} - \frac{\log_{3}2}{\log_{2}3} - \frac{\log_{2}3}{\log_{3}2}$.

答案： 例2[解]根据对数的换底公式，得
$(1)\log_{4}\frac{25}{9}+\log_{2}3-\log_{0.5}\frac{1}{5}=\frac{\log_{2}\frac{25}{9}}{\log_{2}4}+\log_{2}3-\frac{\log_{2}\frac{1}{5}}{\log_{2}0.5}$
$=\log_{2}\frac{5}{3}+\log_{2}3-\log_{2}5=\log_{2}(\frac{5}{3}×3×\frac{1}{5})=\log_{2}1=0.$
$(2)(\log_{3}2+\log_{2}3)^{2}-\frac{\log_{3}2}{\log_{2}3}-\frac{\log_{2}3}{\log_{3}2}$
$=\frac{(\ln2+\ln3)^{2}}{(\ln3)^{2}×(\ln2)^{2}}-\frac{\ln2}{\ln3}×\frac{\ln3}{\ln2}-\frac{\ln3}{\ln2}×\frac{\ln2}{\ln3}$
$=(\frac{\ln2}{\ln3}+\frac{\ln3}{\ln2})^{2}+2-(\frac{\ln2}{\ln3})^{2}-(\frac{\ln3}{\ln2})^{2}=2.$

2. 计算：(1)$(\log_43 + \log_83)(\log_32 + \log_92)$；
(2)$\log_29 · \log_34$.

答案： 2.解：
(1)原式$=\frac{(\lg3+\lg3)(\lg2+\lg2)}{(\lg4+\lg8)(\frac{\lg2}{\lg3}+\frac{\lg2}{\lg9})}$
$=\frac{(\lg3+\lg3)(\lg2+\lg2)}{(2\lg2+3\lg2)(\frac{\lg2}{\lg3}+\frac{2\lg2}{\lg3})}$
$=\frac{5\lg3×3\lg2}{5\lg2×\frac{3\lg2}{\lg3}}=\frac{5}{4}.$
(2)由换底公式可得，
$\log_{2}9·\log_{3}4=\frac{\lg9}{\lg2}·\frac{\lg4}{\lg3}=\frac{2\lg3}{\lg2}·\frac{2\lg2}{\lg3}=4.$