《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

学习目标 1. 掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件. 2. 能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
一、对数的运算性质
【知识梳理】
如果$a＞0$，且$a\neq1$，$M＞0$，$N＞0$，那么
(1)$\log_a(MN)=$$\log_a{M} + \log_a{N}$；
(2)$\log_a\frac{M}{N}=$$\log_a{M} - \log_a{N}$；
(3)$\log_aM^n=$$n\log_a{M}$$(n\in\mathbf{R})$.
注意：
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)性质(1)可以推广为：$\log_a(N_1· N_2··s· N_k)=\log_aN_1+\log_aN_2+·s+\log_aN_k$，其中$N_k＞0$，$k\in\mathbf{N}^*$.

答案：
(1)$\log_a{M} + \log_a{N}$
(2)$\log_a{M} - \log_a{N}$
(3)$n\log_a{M}$

[例1] 求下列各式的值.
(1)$\ln e^2$；(2)$\log_3e+\log_3\frac{3}{e}$；(3)$\lg50 - \lg5$.

答案： [解]
(1)$\ln{e^2} = 2\ln{e} = 2$.
(2)$\log_3{e} + \log_3{\frac{3}{e}} = \log_3{(e · \frac{3}{e})} = \log_3{3} = 1$.
(3)$\lg{50} - \lg{5} = \lg{\frac{50}{5}} = \lg{10} = 1$.

▶跟踪训练 1. 求下列各式的值：
(1)$\log_3(27×9^2)$；(2)$\lg5+\lg2$；
(3)$\ln3+\ln\frac{1}{3}$；(4)$\log_35 - \log_315$.

答案： 1.解：
(1)法一：$\log_3{(27 × 9^2)} = \log_3{27} + \log_3{9^2} = \log_3{3^3} + \log_3{3^4} = 3\log_3{3} + 4\log_3{3} = 3 + 4 = 7$.
法二：$\log_3{(27 × 9^2)} = \log_3{(3^3 × 3^4)} = \log_3{3^7} = 7\log_3{3} = 7$.
(2)$\lg{5} + \lg{2} = \lg{(5 × 2)} = \lg{10} = 1$.
(3)$\ln{3} + \ln{\frac{1}{3}} = \ln{(3 × \frac{1}{3})} = \ln{1} = 0$.
(4)$\log_3{5} - \log_3{15} = \log_3{\frac{5}{15}} = \log_3{\frac{1}{3}} = \log_3{3^{-1}} = -1$.

[例2] 计算下列各式的值.
(1)$\frac{1}{2}\lg\frac{32}{49}-\frac{4}{3}\lg\sqrt{8}+\lg\sqrt{245}$；
(2)$\frac{\lg\sqrt{2}+\lg3 - \lg\sqrt{10}}{\lg1.8}$；
(3)$\log_535 - 2\log_5\frac{7}{3}+\log_57 - \log_51.8$.

答案： [解]
(1)原式$ = \frac{1}{2}(5\lg{2} - 2\lg{7}) - \frac{4}{3} × \frac{3}{2}\lg{2} + \frac{1}{2}(2\lg{7} + \lg{5}) = \frac{5}{2}\lg{2} - \lg{7} - 2\lg{2} + \lg{7} + \frac{1}{2}\lg{5} = \frac{1}{2}\lg{2} + \frac{1}{2}\lg{5} = \frac{1}{2}(\lg{2} + \lg{5}) = \frac{1}{2}\lg{10} = \frac{1}{2}$.
(2)原式$ = \frac{\frac{1}{2}\lg{2} + \frac{1}{2}\lg{5} - \frac{1}{2}(\lg{2} + \lg{9} - \lg{10})}{\lg{1.8}} = \frac{\lg{\frac{18}{10}}}{2\lg{1.8}} = \frac{\lg{1.8}}{2\lg{1.8}} = \frac{1}{2}$.
(3)原式$ = \log_5{(5 × 7)} - 2(\log_5{7} - \log_5{3}) + \log_5{7} - \log_5{\frac{9}{5}} = \log_5{5} + \log_5{7} - 2\log_5{7} + 2\log_5{3} + \log_5{7} - 2\log_5{3} + \log_5{5} = 2\log_5{5} = 2$.