《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例2] 已知$f(x) = \frac{1}{1 + x}(x \in \mathbf{R},$且$x \neq - 1)$，$g(x) = x^{2} + 2(x \in \mathbf{R})$.
(1)求$f(2)，g(2)$的值；
(2)求$f(g(3))$的值.

答案： [解]
(1)$\because f(x)=\frac{1}{1 + x}$，$\therefore f(2)=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$.
又$\because g(x)=x^{2}+2$，$\therefore g(2)=2^{2}+2 = 6$.
(2)$\because g(3)=3^{2}+2 = 11$，
$\therefore f(g(3))=f(11)=\frac{1}{1 + 11}=\frac{1}{12}$.

跟踪训练 2.(1)设函数$f(x) = \frac{x - 6}{x + 2}$，则当$f(x) = 2$时，$x =$ (C)
A.$- 4$
B.$4$
C.$- 10$
D.$10$

答案： 解析:
(1)令$\frac{x - 6}{x + 2}=2$，则$x = - 10$.
C

(2)已知函数$f(x) = \frac{x + 1}{x + 2}$，则$f(f(1)) =$$\frac{5}{8}$.

答案：  
(2)$\frac{5}{8}$

[例3] 已知矩形的面积为$10$，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.

(1)$f(x) = \frac{10}{x}$；
(2)$f(x) = 2x + \frac{20}{x}$；
(3)$f(x) = \frac{\sqrt{x^{4} + 100}}{x}$.

答案： [解]
(1)设矩形的长为$x$，宽为$f(x)$，那么$f(x)=\frac{10}{x}$
其中$x$的取值范围$A = \{x|x ＞ 0\}$，$f(x)$的取值范围$B = \{f(x)|f(x)＞0\}$，对应关系$f$把每一个矩形的长$x$，对应到唯一确定的宽$\frac{10}{x}$.
(2)设矩形的长为$x$，周长为$f(x)$，
那么$f(x)=2x+\frac{20}{x}$，其中$x$的取值范围$A = \{x|x ＞ 0\}$，$f(x)$的取值范围$B = \{f(x)|f(x)＞0\}$，对应关系$f$把每一个矩形的长$x$，对应到唯一确定的周长$2x+\frac{20}{x}$.
(3)设矩形的长为$x$，对角线长为$f(x)$，那么$f(x)=\frac{\sqrt{x^{4}+100}}{x}$，
其中$x$的取值范围$A = \{x|x ＞ 0\}$，$f(x)$的取值范围$B = \{f(x)|f(x)\geq2\sqrt{5}\}$，对应关系$f$把每一个矩形的长$x$，对应到唯一确定的对角线长$\frac{\sqrt{x^{4}+100}}{x}$.

跟踪训练 3.如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图.

该汽车在这段时间内的最高时速是 80千米/时.

答案： 80千米/时