《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

4. 某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按如下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为$ x $人，每位员工的培训费为$ y $元，培训机构的利润为$ Q $元.
(1) 写出$ y $与$ x $($ x＞0 $，$ x\in\mathbf{N} $)之间的函数关系式；
(2) 当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求出最大利润.

答案： 解：
(1)参加培训的员工人数为$x$人，每位员工的培训费为$y$元，培训机构的利润为$Q$元，
当$1\leq x\leq30$且$x\in\mathbf{N}$时，$y=850$，
当$30＜x\leq60$且$x\in\mathbf{N}$时，$y=850-10(x-30)=1150-10x$，
所以$y=\begin{cases}850,1\leq x\leq30 且x\in\mathbf{N},\\1150-10x,30＜x\leq60 且x\in\mathbf{N}.\end{cases}$
(2)当$1\leq x\leq30$且$x\in\mathbf{N}$时，$Q=850x-12000=13500-12000=13500$（元）；
当$30＜x\leq60$且$x\in\mathbf{N}$时，
$Q=-10x^{2}+1150x-12000$，其对称轴为$x=\frac{115}{2}=57.5$，
故当$x=57$或58时，$Q_{\max}=21060$元.
所以当公司参加培训的员工为57人或58人时，培训机构可获得最大利润，最大利润为21060元.

1. 一辆汽车在某段路程中的行驶路程$ s $关于时间$ t $变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(C)


A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.分段函数模型
D.无法确定

答案： 1.C 解析：由$s$与$t$的图象，可知$t$分4段，则函数模型为分段函数模型.

2. 一定范围内，某种产品的购买量$ y $与单价$ x $之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元；如果购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(C)

A.820元
B.840元
C.860元
D.880元

答案： 2.C 解析：设$y=kx+b$，则$1000=800k+b$，且$2000=700k+b$，解得$k=-10,b=9000$，则$y=-10x+9000$.当$y=400$时，即$400=-10x+9000$，得$x=860$元.

3. 国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为(C)

A.2 800元
B.3 000元
C.3 800元
D.3 818元

答案： 3.C 解析：由题意知，纳税额y（元）与稿费x（元）之间的函数关系式为
$y=\begin{cases}0,0$＜x\leq800,\x-800)·14\%,800＜x\leq4000,\\11.2\%· x,x＞$4000.\end{cases}$
令(x-800)×0.14=420，解得x=3800.
令11.2\%x=420，得x=3750（舍去）.
故这个人应得稿费（扣税前）3800元.

4. 生产某机器的总成本$ y $(万元)与产量$ x $(台)之间的函数关系式是$ y=x^2 - 75x $.若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为50台.

答案： 解析：设生产$x$台，获得利润$f(x)$万元，
则$f(x)=25x-y=-x^{2}+100x=-(x-50)^{2}+2500$，
故当$x=50$时，获得利润最大.
答案：50