《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 1] 比较下列各题中两个值的大小：
(1)$1.1^{1.1}$,$1.1^{0.9}$; (2)$0.1^{-0.2}$,$0.1^{0.9}$; (3)$3^{0.1}$,
$ \pi^{0.1}$; (4)$1.7^{0.1}$,$0.9^{1.1}$; (5)$0.7^{0.8}$,$0.8^{0.7}$.

答案： [解]
(1)因为$y = 1.1^{x}$是增函数，$1.1＞0.9$，故$1.1^{1.1}＞1.1^{0.9}$.
(2)因为$y = 0.1^{x}$是减函数，$- 0.2＜0.9$，故$0.1^{- 0.2}＞0.1^{0.9}$.
(3)因为$y = x^{0.1}$在$(0,+\infty)$上单调递增，$3＜\pi$，故$3^{0.1}＜\pi^{0.1}$.
(4)因为$1.7^{0.1}＞1.7^{0}=1$，$0.9^{1.1}＜0.9^{0}=1$，故$1.7^{0.1}＞0.9^{1.1}$.
(5)取中间值$0.7^{0.7}$，因为$0.7^{0.8}＜0.7^{0.7}＜0.8^{0.7}$，故$0.7^{0.8}＜0.8^{0.7}$
(也可取中间值$0.8^{0.8}$，即$0.7^{0.8}＜0.8^{0.8}＜0.8^{0.7}$).

1.(1)下列大小关系正确的是()
A. $0.4^3＜3^{0.4}＜\pi^0$
B. $0.4^3＜\pi^0＜3^{0.4}$
C. $3^{0.4}＜0.4^3＜\pi^0$
D. $\pi^0＜3^{0.4}＜0.4^3$
(2)设$a = 0.6^{0.6}$,$b = 0.6^{1.5}$,$c = 1.5^{0.6}$,则$a$,$b$,$c$的大小关系是
(C)
A.$a＜b＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$b＜c＜a$

答案：
(1)B
(2)C解析：
(1)$0.4^{3}＜0.4^{0}=1=\pi^{0}=3^{0}＜3^{0.4}$.
(2)$\because1.5^{0.6}＞1.5^{0}=1$，$0.6^{0.6}＜0.6^{0}=1$，
故$1.5^{0.6}＞0.6^{0.6}$.
又函数$y = 0.6^{x}$在R上是减函数，且$1.5＞0.6$，
$\therefore0.6^{1.5}＜0.6^{0.6}$，故$0.6^{1.5}＜0.6^{0.6}＜1.5^{0.6}$，
即$b ＜ a ＜ c$.

[例 2] 判断$f(x) = (\frac{1}{3})^{x^2 - 2x}$的单调性，并求最值.

答案： [解]令$u = x^{2}-2x$，则原函数变为$y = (\frac{1}{3})^{u}$.
$\because u = x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1$在$(-\infty,1]$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增.
又$y = (\frac{1}{3})^{u}$在$(-\infty,+\infty)$上单调递减，
$\therefore f(x)=(\frac{1}{3})^{x^{2}-2x}$在$(-\infty,1]$上单调递增，
在$(1,+\infty)$上单调递减.
$\because u = x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1\geqslant - 1$，
$\therefore y = (\frac{1}{3})^{u}$，$u\in[-1,+\infty)$，
$\therefore0＜(\frac{1}{3})^{u}\leqslant(\frac{1}{3})^{-1}=3$，
$\therefore$当$x = 1$时，原函数的最大值为$3$，无最小值.

$▶$跟踪训练$ 2. $已知函数$f(x) =(\frac{1}{2})^{x^2 + 2(a - 1)x + 2}$在区间$(-∞,4]$上单调递增，求实数$a$的取值范围$.$　　

答案： 解：设$g(x)=x^{2}+2(a - 1)x + 2$，指数函数$h(x)=(\frac{1}{2})^{x}$在R上单调递减，根据复合函数单调性同增异减的原则可知函数$g(x)=x^{2}+2(a - 1)x + 2$在区间$(-\infty,4]$上单调递减.
由于函数$g(x)=x^{2}+2(a - 1)x + 2$的图象开口向上，且对称轴为直线$x = 1 - a$，要使函数$f(x)$在区间$(-\infty,4]$上单调递增，则$4\leqslant1 - a$，
即$a\leqslant - 3$.
故$a$的取值范围为$(-\infty,-3]$.