《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例1] 北京时间 2023 年 2 月 10 日 0 时 16 分,经过约 7 小时的出舱活动,神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同,圆满完成出舱活动全部既定任务,出舱活动取得圆满成功. 载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级$d(x)$(单位：$ dB$)与声强$x$(单位：$ W/m^2$)满足关系：$d(x)=10 \lg \frac{x}{10^{-12}}$.若人交谈时的声强级约为$50\ dB$，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为$10^9$，则火箭发射时的声强级约为 (B)

A.$130\ dB$
B.$140\ dB$
C.$150\ dB$
D.$160\ dB$

答案： 例1 B [解析] 设人交谈时的声强为$x_{1}$，则火箭发射时的声强为
$10^{9}x_{1}$，且$50 = 10\lg\frac{x_{1}}{10^{- 12}}$，得$x_{1}=10^{-7} W/ m^{2}$，
则火箭发射时的声强约为$10^{9}×10^{-7}=10^{2}( W/ m^{2})$，
将其代入$d(x)=10\lg\frac{x}{10^{- 12}}$中，
得$d(10^{2})=10\lg\frac{10^{2}}{10^{- 12}}=140( dB)$，
故火箭发射时的声强级约为$140 dB$.

1. 蒸发和沸腾都是汽化现象,是汽化的两种不同方式. 蒸发是在液体表面发生的汽化过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象. 溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中一部分溶剂汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程.通过实验数据可知，某液体的蒸发速度$y$(单位：$ L/h$)与液体所处环境的温度$x$(单位：$° C$)近似地满足函数关系$y = \mathrm{e}^{ax+b}$($\mathrm{e}$为自然对数的底数，$a,b$为常数).若该液体在$10\ ° C$时蒸发速度是$0.2\ L/h$，在$20\ ° C$时蒸发速度是$0.4\ L/h$，则该液体在$40\ ° C$时蒸发速度为 (D)

A.$0.5\ L/h$
B.$0.6\ L/h$
C.$0.8\ L/h$
D.$1.6\ L/h$

答案： 1.D 解析：由题意得$\begin{cases} e^{10a + b}=0.2, \\ e^{20a + b}=0.4, \end{cases}$
两式相除得$e^{10a}=2$，所以$e^{b}=0.1$，
当$x = 40$时，$e^{40a + b}=(e^{10a})^{4}· e^{b}=1.6$，
所以该液体在$40^{\circ} C$时的蒸发速度为$1.6 L/ h$.

[例2] 每年三月中旬至四月上旬是最佳的赏花时期，某公园的赏花园区投资了 30 万元种植鲜花供市民游赏，这些鲜花的花期为 30 天. 园区从 3 月 1 日至 30 日开放，每天的旅游人数$f(x)$(单位：千人)与第$x$天的关系近似地满足$f(x)=8+\frac{8}{x}$，游客人均消费$g(x)$(单位：元)与第$x$天的关系近似地满足$g(x)=143-|x-22|$，$1⩽x⩽30$且$x \in \mathbf{N}^*$.
(1)求该园区第$x$天的旅游收入$p(x)$(单位：千元)的函数解析式；
(2)记(1)中$p(x)$的最小值为$m$，若最终总利润为$0.3m$千元，问：该园区能否收回投资成本？

答案： [例2 [解]
(1)$p(x)=f(x)· g(x)=(8 + \frac{8}{x})(143 - |x - 22|)=$
$\begin{cases} 8x+\frac{968}{x}+976,1\leqslant x\leqslant22, \\ -8x+\frac{1320}{x}+1312,23\leqslant x\leqslant30, \end{cases} x\in N^{*}$.
(2)当$1\leqslant x\leqslant22$且$x\in N^{*}$时，$p(x)=8x+\frac{968}{x}+976\geqslant2\sqrt{8x·\frac{968}{x}}+976 = 1152$，
当且仅当$8x=\frac{968}{x}$，即$x = 11$时取等号，
此时$p(x)$的最小值为$1152$千元.
当$23\leqslant x\leqslant30$且$x\in N^{*}$时，
$p(x)= - 8x+\frac{1320}{x}+1312$为单调递减函数，
所以当$x = 30$时，$p(x)$取到最小值，最小值为$1116$千元.
综上，$p(x)$的最小值$m = 1116$千元.
因此$0.3m = 334.8$千元$=33.48$万元$＞30$万元，能收回投资成本.