《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 1. 已知$A = \{ x \mid x$是正数$\}$，$B = \{ x \mid x$是正整数$\}$，$C = \{ x \mid x$是实数$\}$，那么$A$，$B$，$C$之间的关系是 (B)

A.$A \subseteq B \subseteq C$
B.$B \subsetneq A \subseteq C$
C.$C \subseteq A \subseteq B$
D.$A = B \subseteq C$

答案： 1.B

二、真子集
【知识梳理】
1. 真子集

2. 空集

3. 性质
(1) 反身性: 任何一个集合是它本身的子集，即$A \subseteq A$；
(2) 传递性: 对于集合$A$，$B$，$C$，如果$A \subsetneq B$，且$B \subsetneq C$，那么$A \subsetneq C$.

答案： 1.$x \notin A$ $A \subsetneqq B$ $A$真包含于$B$ 2.不含任何元素

[例 2] (1) 集合$M = \{ 1,2,3\}$的真子集个数是 (B)
A.6
B.7
C.8
D.9

答案： [解析]
(1)根据题意，$M$的真子集有$\varnothing$，$\{1\}$，$\{2\}$，$\{3\}$，$\{1,2\}$，$\{1,3\}$，$\{2,3\}$，共7个.
B

(2) 满足$\{ 1,2\} \subsetneq M \subseteq \{ 1,2,3,4,5\}$的集合$M$有7个.

答案：
(2)根据题意，$M$为$\{1,2,3\}$，$\{1,2,4\}$，$\{1,2,5\}$，$\{1,2,3,4\}$，$\{1,2,3,5\}$，$\{1,2,4,5\}$，$\{1,2,3,4,5\}$，共7个.
7

跟踪训练 2. (多选) 下列关系中正确的有 (AB)
A.$0 \in \{ 0\}$
B.$\varnothing \subsetneq \{ 0\}$
C.$\{ 0,1\} \subseteq \{(0,1)\}$
D.$\{(1,2)\} = \{(2,1)\}$

答案： 2.AB 解析：$A$中为元素与集合的关系，正确；$B$符合空集的特征；$C,D$中两个集合元素不同.

[例 3] 已知集合$A = \{ x \mid - 2 \leq x \leq 5\}$，非空集合$B = \{ x \mid m + 1 \leq x \leq 2m - 1\}$.若$B \subseteq A$，求实数$m$的取值范围.

答案：
[解] 因为$B \neq \varnothing$，且$B \subsetneqq A$，如图所示.

则$\begin{cases}m + 1 \geqslant -2,\\2m - 1 \leqslant 5,\\m + 1 \leqslant 2m - 1,\end{cases}$ 解得$2 \leqslant m \leqslant 3$.
所以实数$m$的取值范围是$\{m \mid 2 \leqslant m \leqslant 3\}$.

变式训练 若将[例 3] 中条件“$A = \{ x \mid - 2 \leq x \leq 5\}$”改为“$A = \{ x \mid - 2 ＜ x ＜ 5\}$”，其他条件不变，求$m$的取值范围.

答案：
解：因为$B \neq \varnothing$，且$B \subsetneqq A$，如图所示.

$\begin{cases}m + 1 ＞ -2,\\2m - 1 ＜ 5,\\m + 1 \leqslant 2m - 1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m ＞ -3,\\m ＜ 3,\\m \geqslant 2,\end{cases}$
即$2 \leqslant m ＜ 3$，
所以$m$的取值范围是$\{m \mid 2 \leqslant m ＜ 3\}$.