《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2.已知$a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0$，且$a + b + c = 1$，求证：$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9$.

答案： 2.证明:因为$a＞0,b＞0,c＞0$,且$a+b+c=1$,
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}$
$=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \geq 3+2+2+2=9$,
当且仅当$a=b=c=\frac{1}{3}$时,等号成立,
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9$.

[例3] (1)已知$x ＞ 0$，则$\frac{9}{x} + x$的最小值为(A)
A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 例3 A [解析]
(1)$\because x＞0$,
$\therefore \frac{9}{x}+x \geq 2\sqrt{\frac{9}{x} · x}=6$,
当且仅当$\frac{9}{x}=x$,即$x=3$时,等号成立,
此时取得最小值6.

(2)已知$a ＞ 0,b ＞ 0$，且$ab = 1$，则$a + 4b$的最小值为4.

答案：
(2)$\because a＞0,b＞0$,且$ab=1,\therefore a+4b \geq 2\sqrt{4ab}=4$,
当且仅当$a=4b$,即$a=2,b=\frac{1}{2}$时,等号成立.
4

3.(1)已知$x ＞ 0,y ＞ 0$，且$x + y = 18$，则$xy$的最大值为(C)
A.80
B.77
C.81
D.82

答案： 3.解析:
(1)$\because x＞0,y＞0,x+y=18$,
$\therefore x+y \geq 2\sqrt{xy},\therefore xy \leq (\frac{x+y}{2})^2=81$,
当且仅当$x=y=9$时,等号成立,$\therefore xy$有最大值81.
C

(2)$\left|a + \frac{2}{a}\right|$的最小值是$2\sqrt{2}$.

答案：
(2)$|a+\frac{2}{a}|=|a|+|\frac{2}{a}| \geq 2\sqrt{|a| · |\frac{2}{a}|}=2\sqrt{2}$,当且仅当$|a|=\frac{2}{|a|}$,
即$a= \pm \sqrt{2}$时,等号成立.

1.下列结论正确的是 (B)

A.当$x ＞ 0$且$x \neq 1$时，$x + \frac{1}{x} \geq 2$
B.当$x ＞ 0$时，$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$
C.当$x \neq 0$时，$x + \frac{1}{x}$的最小值为2
D.当$x ＞ 0$时，$x + \frac{1}{x^2}$的最小值为2

答案： 1.B 解析:选项 A不满足“取等号时的条件”,故不正确;选项 C不满足“各项必须为正”,故不正确;选项 D不满足“积为定值”,故不正确.

2.若$0 ＜ 2x ＜ 3$，则$(3 - 2x)x$的最大值为(D)

A.$\frac{9}{16}$
B.$\frac{9}{4}$
C.2
D.$\frac{9}{8}$

答案： 2.D 解析:$\because 0＜2x＜3,\therefore 3-2x＞0,x＞0$,
$\therefore (3-2x)x=\frac{1}{2}(3-2x) · 2x \leq \frac{1}{2}(\frac{3-2x+2x}{2})^2=\frac{9}{8}$.
当且仅当$3-2x=2x$,即$x=\frac{3}{4}$时取等号,
$\therefore (3-2x)x$的最大值为$\frac{9}{8}$.

3.已知$a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0$. 求证：$a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$.

答案： 3.证明:因为$a＞0,b＞0,c＞0$,所以由基本不等式,得
$a+b \geq 2\sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时,等号成立,
$b+c \geq 2\sqrt{bc}$,当且仅当$b=c$时,等号成立,
$a+c \geq 2\sqrt{ac}$,当且仅当$a=c$时,等号成立,
上面三式相加,得$2a+2b+2c \geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}$,
即$a+b+c \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$,当且仅当$a=b=c$时,等号成立.