《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 1. 求下列各三角函数的值：
(1)$\sin(-945°)$;
(2)$\cos\left(-\frac{16\pi}{3}\right)$;
(3)$\sin\frac{4}{3}\pi · \cos\left(-\frac{19}{6}\pi\right) · \tan\frac{21}{4}\pi$.

答案： 跟踪训练
1.解：
(1)法一：$\sin(-945°)$
$=-\sin 945°=-\sin(225°+2×360°)$
$=-\sin 225°=-\sin(180°+45°)=\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
法二：$\sin(-945°)=\sin(135°-3×360°)=\sin 135°$
$=\sin(180°-45°)=\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)法一：$\cos(-\frac{16\pi}{3})=\cos\frac{16\pi}{3}$
$=\cos(\frac{4\pi}{3}+4\pi)=\cos\frac{4\pi}{3}=\cos(\pi+\frac{\pi}{3})=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$。
法二：$\cos(-\frac{16\pi}{3})=\cos(\frac{2\pi}{3}-6\pi)=\cos\frac{2\pi}{3}$
$=\cos(\pi-\frac{\pi}{3})=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$。
(3)原式$=\sin\frac{4\pi}{3}·\cos(2\pi+\frac{7\pi}{6})·\tan(4\pi+\frac{5\pi}{4})$
$=\sin\frac{4\pi}{3}·\cos\frac{7\pi}{6}·\tan\frac{5\pi}{4}$
$=\sin(\pi+\frac{\pi}{3})·\cos(\pi+\frac{\pi}{6})·\tan(\pi+\frac{\pi}{4})$
$=(-\sin\frac{\pi}{3})·(-\cos\frac{\pi}{6})·\tan\frac{\pi}{4}$
$=(-\frac{\sqrt{3}}{2})×(-\frac{\sqrt{3}}{2})×1=\frac{3}{4}$。

[例2] 已知$\cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\cos\left(\frac{5\pi}{6}+\alpha\right) - \sin^2\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$的值

答案： 例2［解］因为$\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)=\cos[\pi-(\frac{\pi}{6}-\alpha)]$
$=-\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\sin^2(\alpha-\frac{\pi}{6})=\sin^2[-(\frac{\pi}{6}-\alpha)]$
$=\sin^2(\frac{\pi}{6}-\alpha)=1-\cos^2(\frac{\pi}{6}-\alpha)=1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{2}{3}$，
所以$\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)-\sin^2(\alpha-\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{2+\sqrt{3}}{3}$。

变式训练 (1) 若本例中的条件不变，如何求$\cos\left(\alpha-\frac{13\pi}{6}\right)$?
(2) 若本例条件不变，求$\cos\left(\frac{7\pi}{6}-\alpha\right) - \sin^2\left(\alpha-\frac{13\pi}{6}\right)$的值.

答案： 变式训练
解：
(1)$\cos(\alpha-\frac{13\pi}{6})=\cos(\frac{13\pi}{6}-\alpha)$
$=\cos[2\pi+(\frac{\pi}{6}-\alpha)]=\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)$\cos(\frac{7\pi}{6}-\alpha)-\sin^2(\alpha-\frac{13\pi}{6})$
$=\cos[\pi+(\frac{\pi}{6}-\alpha)]-\sin^2[(\alpha-\frac{\pi}{6})-2\pi]$
$=-\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)-\sin^2(\frac{\pi}{6}-\alpha)$
$=-\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)-[1-\cos^2(\frac{\pi}{6}-\alpha)]$
$=-\frac{\sqrt{3}}{3}-[1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^2]=-\frac{\sqrt{3}+2}{3}$。

[例3] 化简下列各式：
(1)$\frac{\tan(2\pi-\alpha)\sin(-2\pi-\alpha)\cos(6\pi-\alpha)}{\cos(\alpha-\pi)\sin(5\pi-\alpha)}$;
(2)$\frac{\sqrt{1+2\sin290°\cos430°}}{\sin250°+\cos790°}$.

答案： 例3［解］
(1)原式$=\frac{-\tan\alpha·\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)\sin(\pi-\alpha)}$
$=\frac{-\sin\alpha(-\sin\alpha)\cos\alpha}{\cos\alpha(-\cos\alpha)\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\tan\alpha$。
(2)原式$=\frac{\sqrt{1+2\sin(360°-70°)\cos(360°+70°)}}{\sin(180°+70°)+\cos(720°+70°)}$
$=\frac{\sqrt{1-2\sin70°\cos70°}}{-\sin70°+\cos70°}=\frac{|\cos70°-\sin70°|}{\cos70°-\sin70°}$
$=\frac{\sin70°-\cos70°}{\cos70°-\sin70°}=-1$。