《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

二、在给定范围上的恒成立问题
[例 2] 当$1 \leqslant x \leqslant 2$时，不等式$x^{2}+m x+4＜0$恒成立，求实数$m$的取值范围.

答案： 答题卡作答：
由题，当$1 \leqslant x \leqslant 2$时，不等式$x^{2} + mx + 4 ＜ 0$恒成立。
即$m ＜ - \left(x + \frac{4}{x}\right)$对任意$x \in [1,2]$恒成立。
令$f(x) = - \left(x + \frac{4}{x}\right)$，则$m ＜ f(x)_{ min}$。
因为$x \in [1,2]$，由对勾函数性质知$y = x + \frac{4}{x}$在$[1,2]$上单调递减。
所以$f(x) = - \left(x + \frac{4}{x}\right)$在$[1,2]$上单调递增。
则$f(x)_{ min} = f(1)= - \left(1 + \frac{4}{1}\right) = -5$。
所以$m ＜ -5$。
故实数$m$的取值范围是$(-\infty, -5)$。

跟踪训练 2. 若对$x \in \{x \mid -3 \leqslant x \leqslant -1\}$上恒有$x^{2}-a x-3＜0$成立，则$a$的取值范围是 .

答案： a ＜ - 2（按题目要求填写格式，这里是范围不是选项，按规则表述为对应范围答案形式）即填写a范围对应的（通常题目给选项这里按规则）本题直接填范围对应（假设题目是填空$）a\in (-\infty,-2) $简写为 a ＜ -2 的答案形式（按题目要求答案格式）故

三、能成立问题
[例 3] 当$1＜x＜2$时，关于$x$的不等式$x^{2}+m x+4＞0$有解，求实数$m$的取值范围.
[课堂笔记]

答案： 要使当$1 ＜ x ＜ 2$时，不等式$x^2 + mx + 4 ＞ 0$有解，即存在$x \in (1,2)$使得该不等式成立。
步骤1：不等式变形
将不等式$x^2 + mx + 4 ＞ 0$变形为$mx ＞ -x^2 - 4$。
因为$1 ＜ x ＜ 2$，所以$x ＞ 0$，两边同除以$x$得：$m ＞ -x - \frac{4}{x}$。
步骤2：构造函数并求值域
设$f(x) = -x - \frac{4}{x}$，$x \in (1,2)$。问题转化为：存在$x \in (1,2)$使得$m ＞ f(x)$成立，即$m$需大于$f(x)$在$(1,2)$上的最小值（或值域下限）。
对$f(x)$求导：$f'(x) = -1 + \frac{4}{x^2}$。
在$x \in (1,2)$时，$x^2 \in (1,4)$，则$\frac{4}{x^2} \in (1,4)$，故$f'(x) = -1 + \frac{4}{x^2} ＞ 0$，即$f(x)$在$(1,2)$上单调递增。
因此，$f(x)$在$(1,2)$上的值域为$(f(1), f(2))$：
$f(1) = -1 - \frac{4}{1} = -5$，
$f(2) = -2 - \frac{4}{2} = -4$，
故$f(x) \in (-5, -4)$。
步骤3：确定$m$的取值范围
要存在$x \in (1,2)$使得$m ＞ f(x)$，只需$m ＞ -5$（因$f(x)$的值域为$(-5, -4)$，$m$大于其下限即可保证存在$x$满足条件）。
结论：实数$m$的取值范围是$(-5, +\infty)$。
$\boxed{(-5, +\infty)}$

跟踪训练 3. 若存在$x \in \mathbf{R}$，使得$\frac{4 x+m}{x^{2}-2 x+3} \geqslant 2$成立，求实数$m$的取值范围.

答案： 因为存在$x \in \mathbf{R}$，使得$\frac{4x + m}{x^{2} - 2x + 3} \geqslant 2$成立，
由于$x^{2} - 2x + 3 = (x - 1)^{2} + 2 ＞ 0$，
所以原不等式可化为$4x + m \geqslant 2(x^{2} - 2x + 3)$，
即$m \geqslant 2x^{2} - 8x + 6$存在解，
令$f(x) = 2x^{2} - 8x + 6$，
则$m \geqslant f(x)_{min}$存在解即求$f(x)$的最小值，
因为$f(x) = 2x^{2} - 8x + 6 = 2(x - 2)^{2} - 2$，
所以$f(x)_{min} = - 2$，
所以$m \geqslant - 2$。
故实数$m$的取值范围是$[ - 2, + \infty)$。

1. 若关于$x$的不等式$x^{2}+m x+1 \geqslant 0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$m$的取值范围是 ()

A.$\{m \mid m \geqslant 2\}$
B.$\{m \mid m \leqslant -2\}$
C.$\{m \mid m \leqslant -2$,或$m \geqslant 2\}$
D.$\{m \mid -2 \leqslant m \leqslant 2\}$

答案： D

2. 若不等式$2 k x^{2}+k x-\frac{3}{8}＜0$对一切实数$x$都成立，则$k$的取值范围为 ()

A.$\{k \mid -3＜k \leqslant 0\}$
B.$\{k \mid -3 \leqslant k＜0\}$
C.$\{k \mid -3 \leqslant k \leqslant 0\}$
D.$\{k \mid -3＜k＜0\}$

答案： A

3. 若当$1 \leqslant x \leqslant 2$时，$x^{2}-a x＞0$恒成立，则实数$a$的取值范围是 ()

A.$\{a \mid a \geqslant 1\}$
B.$\{a \mid a＞1\}$
C.$\{a \mid a \leqslant 1\}$
D.$\{a \mid a＜1\}$

答案： D