《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一、弧度制的概念
【知识梳理】
1.弧度制
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号$ rad$表示，读作弧度.
2.弧度数的计算
在半径为$r$的圆中，弧长为$l$的弧所对的圆心角为$\alpha \operatorname{rad}$，那么$|\alpha| = \frac{l}{r}$.
3.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
注意：
一定大小的圆心角$\alpha$所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.
4.角度与弧度的互化

注意：
(1)弧度单位$ rad$可以省略.
(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用.

答案： 5.1.2 弧度制
重点串讲·能力提升
一、1.半径长 圆弧 3.正数 负数 0 $4.2\pi$ $360°$ $\pi$ $180°$

[例1] (1)下列各命题中，真命题是 (D)
A. 1弧度就是$1^{\circ}$的圆心角所对的弧
B. 1弧度是长度等于半径的弧
C. 1弧度是$1^{\circ}$的弧与$1^{\circ}$的角之和
D. 1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小
(2)(多选)下列转化结果正确的是 (AB)
A. $67^{\circ}30'$化成弧度是$\frac{3\pi}{8}$
B. $- \frac{10\pi}{3}$化成角度是$- 600^{\circ}$
C. $-150^{\circ}$化成弧度是$- \frac{7\pi}{6}$
D. $\frac{\pi}{12}$化成角度是$25^{\circ}$

答案：
(1)D
(2)AB [解析]
(1)根据弧度制和角度制的规定可知A,B,C均错误,D正确.
(2)$67°30'=67.5×\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{8}$,故A正确;
$\frac{10\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}×(\frac{180}{\pi})°=-600°$,故B正确;
$-150°=-150×\frac{\pi}{180}=-\frac{5\pi}{6}$,故C错误;
$\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{12}×(\frac{180}{\pi})°=15°$,故D错误.

跟踪训练 1. 已知$\alpha = 15^{\circ}$，$\beta = \frac{\pi}{10} rad$，$\gamma = 1 rad$，$\theta = 105^{\circ}$，$\varphi = \frac{7\pi}{12} rad$，试比较$\alpha$，$\beta$，$\gamma$，$\theta$，$\varphi$的大小.

答案： 解:法一(化为弧度):
$\alpha=15°=15×\frac{\pi}{180} rad=\frac{\pi}{12} rad$,
$\theta=105°=105×\frac{\pi}{180} rad=\frac{7\pi}{12} rad$,
显然$\frac{\pi}{12}＜\frac{\pi}{10}＜1＜\frac{7\pi}{12}$,故$\alpha＜\beta＜\gamma＜\theta=\varphi$.
法二(化为角度):
$\beta=\frac{\pi}{10} rad=\frac{\pi}{10}×(\frac{180}{\pi})°=18°$,
$\gamma=1 rad\approx57.30°$,$\varphi=\frac{7\pi}{12}×(\frac{180}{\pi})°=105°$,
显然$15°＜18°＜57.30°＜105°$,
故$\alpha＜\beta＜\gamma＜\theta=\varphi$.