《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. $\exists x＞0$，使得 $\frac{1}{x}+x - a\leq0$，则实数 $a$ 的取值范围是
(B)

A.$a＞2$
B.$a\geq2$
C.$a＜2$
D.$a\leq2$

答案： B 解析：∃x＞0，使得$\frac{1}{x} + x - a \leqslant 0$，等价于x＞0时，a $\geqslant$ (x + $\frac{1}{x}$)$_{min}$
∵x + $\frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{1}{x}}$ = 2，当且仅当x = 1时，等号成立，
∴a $\geqslant$ 2.

2. 用一段长为 8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为
(C)

A.$9\ cm^2$
B.$16\ cm^2$
C.$4\ cm^2$
D.$5\ cm^2$

答案： C 解析：设矩形模型的长和宽分别为x,y，则x＞0,y＞0，由题意可得2(x + y) = 8，所以x + y = 4，所以矩形模型的面积S = xy $\leqslant$ ($\frac{x + y}{2}$)$^2$ = 4，当且仅当x = y = 2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm$^2$.

3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为400.

答案：
解析：由题意设矩形花园的长为x(x＞0)，宽为y(y＞0)，矩形花园的面积为xy. 根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE ∽ △ABC，所以$\frac{AF}{AG} = \frac{DE}{BC}$.
又因为AG = BC = 40，所以AF = DE = x，FG = y，
所以x + y = 40，由基本不等式x + y $\geqslant$ 2$\sqrt{xy}$，得xy $\leqslant$ 400，
当且仅当x = y = 20时，等号成立，此时矩形花园面积最大，最大值为400.
答案：400