《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

学习目标 1. 理解充要条件的意义. 2. 会判断一些简单的充要条件问题. 3. 能对充要条件进行证明.
一、充要条件
【知识梳理】
1. 如果“若 $ p $，则 $ q $”和它的逆命题“若 $ q $，则 $ p $”均是真命题，即既有$p \Rightarrow q$，又有$q \Rightarrow p$，就记作$p \Leftrightarrow q$，此时，$ p $ 既是 $ q $ 的充分条件，也是 $ q $ 的必要条件，我们说 $ p $ 是 $ q $ 的充分必要条件，简称为充要条件.
2. 条件关系判定的常用结论：

答案： 1.$p \Rightarrow q$ $q \Rightarrow p$ $p \Leftrightarrow q$ 充要

[例 1] 判断下列各题中，$ p $ 是 $ q $ 的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
(1) $ p:|x| = |y| $，$ q:x^{3} = y^{3} $；
(2) $ p $：在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB ＞ AC $，$ q $：在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C ＞ \angle B $；
(3) $ p:A \subseteq B $，$ q:A \cup B = B $；
(4) $ p $：两个三角形全等，$ q $：两个三角形面积相等.

答案： 例1 [解]
(1)因为$\vert x\vert=\vert y\vert$时，$x = \pm y$，不一定有$x^{3}=y^{3}$，而$x^{3}=y^{3}$时一定有$x = y$，必有$\vert x\vert=\vert y\vert$，所以$p$是$q$的必要不充分条件.
(2)由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知$p$是$q$的充要条件.
(3)若$A \subseteq B$，则一定有$A \cup B = B$，反之，若$A \cup B = B$，则一定有$A \subseteq B$，故$p$是$q$的充要条件.
(4)若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等)，却不一定有两三角形全等，故$p$是$q$的充分不必要条件.

跟踪训练 1. 以下选项中，$ p $ 是 $ q $ 的充要条件的是(D)

A.$ p:3x + 2 ＞ 5 $，$ q:-2x - 3 ＞ -5 $
B.$ p:a ＞ 2 $，$ b ＜ 2 $，$ q:a ＞ b $
C.$ p $：四边形的两条对角线互相垂直平分，$ q $：四边形是正方形
D.$ p:a \neq 0 $，$ q $：关于 $ x $ 的方程 $ ax = 1 $ 有唯一解

答案： 1.D 解析：对于$A$，$p:x ＞ 1$，$q:x ＜ 1$，所以$p$是$q$的既不充分也不必要条件；对于$B$，$p \Rightarrow q$，但$q \nRightarrow p$，所以$p$是$q$的充分不必要条件；对于$C$，$p \neq q$，但$q \Rightarrow p$，所以$p$是$q$的必要不充分条件；对于$D$，显然$q \Leftrightarrow p$，所以$p$是$q$的充要条件.

[例 2] 求证：$ \triangle ABC $ 是等边三角形的充要条件是 $ a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + ac + bc $.（这里 $ a $，$ b $，$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边边长）

答案： 例2 [证明] 必要性：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c$，所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc$，所以必要性成立；
充分性：由$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc$两边同时乘$2$得，$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2ab + 2ac + 2bc$，即$(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}=0$，所以$a = b = c$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，所以充分性成立.
综上，$\triangle ABC$是等边三角形的充要条件是$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc$.