《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一、元素与集合的概念
【知识梳理】
1.元素
一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母$a,b,c,· · ·$表示.
2.集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母$A,B,C,· · ·$表示.

答案： 一、1.元素 2.集合 集

[例1] 下列对象中可以构成集合的是 (C)

A.大苹果
B.好心的人
C.高一(10)班的学生
D.著名的数学家

答案： 例1 C [解析]
选项 正误 原因
A ✕ 大苹果到底以多重算大，标准不明确
B ✕ 好心的人到底以什么算好心，标准不明确
C √ 高一
(10)班的学生标准明确，故可构成集合
D ✕ “著名”的标准不明确

跟踪训练 1.(多选)下列所给对象能构成集合的是　　(AD)
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.高中数学必修第一册课本上的所有难题
C.比较接近1的整数的全体
D.某校高一年级的16岁以下的学生

答案： 跟踪训练 1
1.AD 解析：A中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“到原点的距离等于1的点”；B，C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；D中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”.

二、集合中元素的特征
【知识梳理】
1.集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

答案： 二、1.确定性 互异性 无序性 2.一样的

[例2] 设$a$，$b$是两个实数，集合$A$中含有$0$，$b$，$\frac {b}{a}$三个元素，集合$B$中含有$1$，$a$，$a+b$三个元素，且集合$A$与集合$B$相等，则$a+2b=$1.

答案： 例2 [解析]
∵A=B且a≠0，
∴$\begin{cases}a + b = 0,\\a = \frac{b}{a},\end{cases}$①或$\begin{cases}a + b = 0,\\1 = \frac{b}{a},\end{cases}$②
由①得a = -1，b = 1，符合题意.
而②无解，则a + 2b = -1 + 2 = 1.
[答案] 1