《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一、基本不等式
【知识梳理】
1.基本不等式：如果$a＞0,b＞0$，则$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时，等号成立.其中，$\frac{a + b}{2}$叫做正数$a,b$的算术平均数，$\sqrt{ab}$叫做正数$a,b$的几何平均数.
2.两个正数的算术平均数$\geq$它们的几何平均数.
3.基本不等式与不等式性质的关系
要证$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，①
只要证：$2\sqrt{ab} \leq a + b$，②
要证②，只要证：$a + b - 2\sqrt{ab} \leq 0$，③
要证③，只要证：$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \leq 0$，④
要证④，只要证：$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$，⑤
显然⑤成立，当且仅当$a = b$时，⑤中等号成立.

答案： 1.$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ $a=b$ $\frac{a+b}{2}$ $\sqrt{ab}$ 2.不小于 3.$\leq$ $2\sqrt{ab}-a-b$ $-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ $a=b$

[例1](多选)下列说法正确的是 (BC)

A.对$\forall a,b \in \mathbf{R}, \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$成立
B.若$a ＞ 0,b ＞ 0$且$a \neq b$，则$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$
C.对$\forall a,b \in \mathbf{R},a^2 + b^2 \geq 2ab$
D.若$x ＞ 2$，则$x + \frac{1}{x} \geq 2$中可以取等号

答案： 例1 BC [解析] A错误,应设$a＞0,b＞0$. D错误,当且仅当$x=1$时取等号.

1.(多选)下面四个推导过程正确的有(AC)

A.若$a,b$为正实数，则$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} = 2$
B.若$a \in \mathbf{R},a \neq 0$，则$\frac{4}{a} + a \geq 2\sqrt{\frac{4}{a} · a} = 4$
C.若$x,y \in \mathbf{R},xy ＜ 0$，则$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -[(-\frac{x}{y}) + (-\frac{y}{x})] \leq -2\sqrt{(-\frac{x}{y})(-\frac{y}{x})} = -2$
D.若$a ＜ 0,b ＜ 0$，则$\frac{a^2 + b^2}{2} \leq ab$

答案： 1.AC 解析:对于A,$a＞0,b＞0$,且满足乘积为定值,正确;对于B,$a \neq 0$,在$a＞0$时才成立,不正确;对于C,$\because xy＜0,\therefore -\frac{x}{y}＞0,-\frac{y}{x}＞0$.提出负号,不等号方向要改变,正确;对于 D,$a,b \in R$都有$a^2+b^2 \geq 2ab$,不正确.

[例2] 已知$a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0$，且$a + b + c = 1$. 求证：$(\frac{1}{a} - 1)(\frac{1}{b} - 1)(\frac{1}{c} - 1) \geq 8$.

答案： 例2 [证明] 因为$a,b,c \in (0,+\infty),a+b+c=1$,
所以$\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a} \geq \frac{2\sqrt{bc}}{a}$ 同理,$\frac{1}{b}-1 \geq \frac{2\sqrt{ac}}{b} \frac{1}{c}-1 \geq \frac{2\sqrt{ab}}{c}$
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
得$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1) \geq \frac{2\sqrt{bc}}{a} · \frac{2\sqrt{ac}}{b} · \frac{2\sqrt{ab}}{c}=8$.