《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 2. 将下列指数式、对数式互化：
(1)$27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$；
(2)$\ln a = b$；
(3)$(\frac{1}{2})^{m}=n$；
(4)$lg1000 = 3$.

答案： 跟踪训练
2.解：
(1)因为$27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$，所以$\log_{27}\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$。
(2)因为$\ln a = b$，所以$e^b = a$。
(3)因为$(\frac{1}{2})^m = n$，所以$\log_{\frac{1}{2}}n = m$。
(4)因为$\lg 1000 = 3$，所以$10^3 = 1000$。

[例3] 求下列各式中$x$的值：
(1)$-\lg x = 2$；
(2)$\log_{x}\frac{1}{64}=-3$；
(3)$x=\log_{\frac{1}{3}}27$；
(4)$\ln\frac{1}{ e^{2}}=x$.

答案： 例3 [解]
(1)由$-\lg x = 2$得$\lg x = -2$，$\therefore x = 10^{-2} = \frac{1}{100}$。
(2)由$\log_x\frac{1}{64} = -3$得$x^{-3} = \frac{1}{64} = 4^{-3}$，$\therefore x = 4$。
(3)由$x = \log_{\frac{1}{3}}27$得$(\frac{1}{3})^x = 27$，即$3^{-x} = 3^3$，$\therefore -x = 3$，即$x = -3$。
(4)由$\ln\frac{1}{e^2} = x$得$e^x = \frac{1}{e^2}$，即$e^x = e^{-2}$，$\therefore x = -2$。

跟踪训练 3. 求下列各式中$x$的值.
(1)$\log_{3}x = - 3$；
(2)$\log_{x}49 = 4$；
(3)$\lg0.00001 = x$；
(4)$\ln\sqrt{ e}=-x$.

答案： 跟踪训练
3.解：
(1)由题意得$x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$。
(2)由$x^4 = 49$，$x ＞ 0$且$x \neq 1$，得$x = \sqrt{7}$。
(3)由$10^x = 0.00001 = 10^{-5}$，得$x = -5$。
(4)由$e^{-x} = \sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$，得$x = -\frac{1}{2}$。

四、对数的相关性质
【知识梳理】
对数的性质
(1)$\log_{a}1 =$0$(a＞0$，且$a\neq1)$.
(2)$\log_{a}a =$1$(a＞0$，且$a\neq1)$.
(3)负数和$0$没有对数.
(4)对数恒等式：$a^{\log_{a}N}=$$N$；$\log_{a}a^{x}=$$x$$(a＞0$，且$a\neq1$，$N＞0)$.

答案： 四、
(1)0
(2)1
(3)没有对数
(4)$N$ $x$