《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 1] (1) 已知 $x＞3$，求 $y = 2x+\frac{4}{2x - 6}$ 的最小值.
(2) 设 $0＜x＜\frac{3}{2}$，求函数 $y = 4x(3 - 2x)$ 的最大值.

答案： [解]
(1)
∵x＞3，
∴2x - 6 ＞ 0，
∴y = 2x + $\frac{4}{2x - 6}$ = (2x - 6) + $\frac{4}{2x - 6}$ + 6 $\geqslant$ 2$\sqrt{(2x - 6) · \frac{4}{2x - 6}}$ + 6 = 2 × 2 + 6 = 10，当且仅当2x - 6 = $\frac{4}{2x - 6}$，即x = 4时取等号，
∴y = 2x + $\frac{4}{2x - 6}$的最小值是10.
(2)
∵0＜x＜$\frac{3}{2}$，
∴3 - 2x ＞ 0，
∴y = 4x(3 - 2x) = 2[2x(3 - 2x)] $\leqslant$ 2$[\frac{2x + (3 - 2x)}{2}]^2$ = $\frac{9}{2}$，
当且仅当2x = 3 - 2x，即x = $\frac{3}{4}$时，等号成立.
∵$\frac{3}{4} \in (0,\frac{3}{2})$，
∴函数y = 4x(3 - 2x)(0＜x＜$\frac{3}{2}$)的最大值为$\frac{9}{2}$.

▦跟踪训练 1. (1) 已知 $0＜x＜2$，则 $x(5 - 2x)$ 的最大值为$\frac{25}{8}$.

答案： 解析：
(1)
∵0＜x＜2，
∴0＜2x＜4，5 - 2x＞0，则x(5 - 2x) = $\frac{1}{2} · 2x · (5 - 2x) \leqslant \frac{1}{2}[\frac{2x + (5 - 2x)}{2}]^2$ = $\frac{1}{2} × \frac{25}{4} = \frac{25}{8}$，
当且仅当2x = 5 - 2x，即x = $\frac{5}{4}$时，等号成立.
故x(5 - 2x)的最大值为$\frac{25}{8}$.

(2) 已知 $x＞2$，则 $x+\frac{4}{x - 2}$ 的最小值为6.

答案：
(2)
∵x＞2，
∴x - 2＞0，
∴x + $\frac{4}{x - 2}$ = x - 2 + $\frac{4}{x - 2}$ + 2 $\geqslant$ 2$\sqrt{(x - 2) · \frac{4}{x - 2}}$ + 2 = 6，
当且仅当x - 2 = $\frac{4}{x - 2}$，即x = 4时，等号成立.
∴x + $\frac{4}{x - 2}$的最小值为6.

[例 2] (1) 已知 $x＞0,y＞0$，且 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$，求 $x + y$ 的最小值.

答案： [解]
(1)
∵x＞0,y＞0,$\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$，
∴x + y = ($\frac{1}{x} + \frac{9}{y}$)(x + y) = $\frac{y}{x} + \frac{9x}{y} + 10 \geqslant 2\sqrt{\frac{y}{x} · \frac{9x}{y}}$ + 10 = 6 + 10 = 16，当且仅当$\frac{y}{x} = \frac{9x}{y}$，$\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$，
即x = 4,y = 12时，上式取等号.
故当x = 4,y = 12时，(x + y)$_{min}$ = 16.

(2) 已知 $a＞0,b＞0$，且 $2a + b = 1$，求 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值.

答案：
(2)$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = (\frac{2}{a} + \frac{1}{b})(2a + b) = 5 + \frac{2b}{a} + \frac{2a}{b} \geqslant 5 + 2\sqrt{\frac{2b}{a} · \frac{2a}{b}}$ = 9，当且仅当$\frac{2b}{a} = \frac{2a}{b}$，即a = b = $\frac{1}{3}$时，等号成立，
∴$\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$的最小值为9.

▦跟踪训练 2. 已知 $x＞0,y＞0,x + 8y = xy$，求 $x + 2y$ 的最小值.

答案： 解：因为x＞0,y＞0,x + 8y = xy，所以$\frac{8}{x} + \frac{1}{y} = 1$，
所以x + 2y = ($\frac{8}{x} + \frac{1}{y}$)(x + 2y) = 10 + $\frac{x}{y} + \frac{16y}{x} \geqslant 10 + 2\sqrt{\frac{x}{y} · \frac{16y}{x}}$ = 18，
当且仅当$\frac{x}{y} = \frac{16y}{x}$，
即$\begin{cases}\frac{8}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{x}{y} = \frac{16y}{x} \end{cases}$
即$\begin{cases}x = 12 \\ y = 3 \end{cases}$时等号成立.
所以x + 2y的最小值为18.

[例 3] (1) 函数 $y=\frac{x^2}{x + 1}(x＞-1)$ 的最小值为0.

答案： [解析]
(1)
∵y = $\frac{x^2 - 1 + 1}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1} = x + 1 + \frac{1}{x + 1} - 2$.
又x ＞ -1，
∴x + 1＞0，
∴y $\geqslant$ 2 - 2 = 0，当且仅当x = 0时，等号成立.

(2) $y=\frac{x + 1}{x^2+3x + 8}(x＞-1)$ 的最大值为$\frac{2\sqrt{6} - 1}{23}$.

答案：
(2)y = $\frac{x + 1}{(x + 1)^2 + (x + 1) + 6} = \frac{1}{(x + 1) + \frac{6}{x + 1} + 1}$
∵x ＞ -1，
∴x + 1＞0，
∴(x + 1) + $\frac{6}{x + 1} + 1 \geqslant 2\sqrt{6} + 1$，
∴$\frac{1}{(x + 1) + \frac{6}{x + 1} + 1} \leqslant \frac{1}{2\sqrt{6} + 1} = \frac{2\sqrt{6} - 1}{23}$
当且仅当x + 1 = $\frac{6}{x + 1}$，即x = $\sqrt{6} - 1$时取等号.