《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 2.(1)若函数$f(x)=(m - 1)x + 1$在$\mathbf{R}$上是增函数，则$f(m)$与$f(1)$的大小关系是

A.$f(m)＜f(1)$
B.$f(m)＞f(1)$
C.$f(m)\leq f(1)$
D.$f(m)\geq f(1)$

答案： 解析：
(1)$\because$函数$f(x) = (m - 1)x + 1$在$\mathbf{R}$上是增函数，
$\therefore m - 1 ＞ 0$，解得$m ＞ 1$，则$f(m) ＞ f(1)$。
B

(2)若函数$f(x)= -x^{2}-2(a + 1)x + 3$在区间$(-\infty,3]$上是增函数，则实数$a$的取值范围是.

答案： $a\leqslant - 4$（填具体范围对应的选项字母）

1.(多选)如图所示的是定义在区间$[-5,5]$上的函数$y = f(x)$的图象，则下列关于函数$f(x)$的说法正确的是

A.函数在区间$[-5,-3]$上单调递增
B.函数在区间$[1,4]$上单调递增
C.函数在区间$[-3,1]\cup[4,5]$上单调递减
D.函数在区间$[-5,5]$上没有单调性

答案： 1.ABD 解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“$\cup$”连接。

2. 函数$y = |x| - 1$的单调递减区间为.

答案： 解析：当$x ＞ 0$时，$y = |x| - 1 = x - 1$，此时函数单调递增，当$x \leq 0$时，$y = |x| - 1 = -x - 1$，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为$(-\infty, 0]$。
答案：$(-\infty, 0]$

3. 若函数$f(x)=\frac{1}{x + 1}$在$(a,+\infty)$上单调递减，则$a$的取值范围是.

答案： 解析：$\because f(x) = -\frac{1}{x + 1}$在$(-\infty, -1), (-1, +\infty)$上单调递减
$\therefore a \geq -1$。
答案：$[-1, +\infty)$

4. 已知函数$y = f(x)$是$(-\infty,+\infty)$上的增函数，且$f(2x - 3)＞f(5x - 6)$，则实数$x$的取值范围为.

答案： 解析：$\because$函数$y = f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上是增函数，且$f(2x - 3) ＞ f(5x - 6), \therefore 2x - 3 ＞ 5x - 6$，解得$x ＜ 1$，
即实数$x$的取值范围为$(-\infty, 1)$。
答案：$(-\infty, 1)$

一、函数的最大值和最小值
【知识梳理】
函数的最值

答案： 重点串讲.能力提升
一、$f(x)\leq M$ $f(x)\geq M$ $f(x_0)=M$

[例1] 已知函数$f(x) = \begin{cases}x^2 - x & (0 \leq x \leq 2), \frac{2}{x - 1} & (x ＞ 2),\end{cases}$求函数$f(x)$的最大值和最小值.

答案：
[解]　作出$f(x)$的图象，如图所示.
由图象可知，当$x=2$时，$f(x)$取最大值为$2$；
当$x=\frac{1}{2}$时，$f(x)$取最小值为$-\frac{1}{4}$.

所以$f(x)$的最大值为$2$，最小值为$-\frac{1}{4}$.