《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

(1)$p:\alpha$为锐角，$q:\alpha = 45^{\circ}$；
(2)$p:x + 1 = 0, q:(x + 1)(x - 2) = 0$.

答案： 跟踪训练
1.解：
(1)由于q⇒p,p⇏q,故p是q的必要条件,q是p的充分条件.
(2)由于p⇒q,q⇏p,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.

[例 2] 已知集合$P = \{x \mid -2 ＜ x ＜ 4\}, Q = \{x \mid 3m - 2 \leq x \leq 5m + 2, m \in \mathbf{R}\}$. 若$P$的充分条件为$Q$，求实数$m$的取值范围.

答案： 例2 [解] 由已知,P的充分条件为Q，
则Q是P的子集.
当3m-2＞5m+2,即m＜-2时,Q=∅，满足题意；
当3m-2≤5m+2,即m≥-2时，由题意得$\begin{cases}3m-2＞-2,\\5m+2＜4,\end{cases}$
解得$0＜m＜\frac{2}{5}.$
综上,m的取值范围是$\begin{cases}m\mid m＜-2,$或$0＜m＜\frac{2}{5}\end{cases}（$此处原书大括号使用可能有误，按原文识别）

跟踪训练 2. 已知$P = \{x \mid a - 4 ＜ x ＜ a + 4\}, Q = \{x \mid 1 ＜ x ＜ 3\}, “x \in P”$是$“x \in Q”$的必要条件，则实数$a$的取值范围是.

答案： 跟踪训练
2.解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件.
所以Q⊆P，
所以$\begin{cases}a - 4\leqslant1,\\a + 4\geqslant3,\end{cases}$即$\begin{cases}a\leqslant5,\\a\geqslant - 1,\end{cases}$
所以$-1\leqslant a\leqslant5.$
答案：$\begin{cases}a\mid - 1\leqslant a\leqslant5\end{cases}$

1.若$p:a \in (M \cup N), q:a \in M$，则$p$是$q$的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断

答案： 1.B 解析：由a∈(M∪N)⇒a∈M,但a∈M⇒a∈(M∪N)，故p是q的必要不充分条件.

2. “$x^2 = 2x$”是“$x = 0$”的必要条件，“$x = 0$”是“$x^2 = 2x$”的充分条件(用“充分”“必要”填空).

答案： 2.解析：由于$x=0⇒x^{2}=2x，$所以$“x^{2}=2x”$是“x=0”的必要条件.“x=0”是$“x^{2}=2x”$的充分条件.
答案：必要 充分

3. 已知$M = \{x \mid a - 1 ＜ x ＜ a + 1\}, N = \{x \mid -3 ＜ x ＜ 8\}$. 若$N$是$M$的必要条件，求实数$a$的取值范围.

答案： 3.解：因为N是M的必要条件，所以M⊆N.
于是$\begin{cases}a - 1\geqslant - 3,\\a + 1\leqslant8,\end{cases}$从而可得$-2\leqslant a\leqslant7.$
故实数a的取值范围为$\begin{cases}a\mid - 2\leqslant a\leqslant7\end{cases}.$