《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 1. 若区间$[a - 1,a]$关于原点对称，则$a=$$\frac{1}{2}$，此时区间为$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

答案： 解析：由已知得$a - 1 = -a$，解得$a = \frac{1}{2}$.此时区间为$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.
答案$\frac{1}{2} [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$

[例2] 求下列函数的定义域：
(1)$f(x)=\sqrt{x - 1}·\sqrt{4 - x}+2$；
(2)$y=(x - 1)^0+\sqrt{\frac{2}{x + 1}}$.
[课堂笔记]

答案： [解]
(1)要使此函数有意义，应满足$\begin{cases}x - 1\geq0,\\4 - x\geq0,\end{cases}$解得$1\leq x\leq4$，所以$f(x)$的定义域是$\{x|1\leq x\leq4\}$.
(2)由题意得$\begin{cases}\frac{2}{x + 1}\geq0,\\x + 1\neq0,\end{cases}$解得$x ＞ -1$，且$x\neq1$，所以函数的定义域为$\{x|x ＞ -1$，且$x\neq1\}$.

跟踪训练 2. 求下列函数的定义域：
(1)$y=\frac{(x + 1)^2}{x + 1}-\sqrt{1 - x}$；
(2)$y=\frac{\sqrt{3 - x}}{\vert x\vert - 5}$.

答案： 解：
(1)要使函数式有意义，自变量$x$的取值必须满足$\begin{cases}x + 1\neq0,\\1 - x\geq0,\end{cases}$解得$x\leq1$且$x\neq -1$，即函数的定义域为$\{x|x\leq1$，且$x\neq -1\}$.
(2)要使函数式有意义，自变量$x$的取值必须满足$\begin{cases}3 - x\geq0,\\|x| - 5\neq0,\end{cases}$解得$x\leq3$，且$x\neq -5$，即函数的定义域为$\{x|x\leq3$，且$x\neq -5\}$.

三、判断是否为同一个函数
[例3] 下列各组函数：
①$f(x)=\frac{x^2 - x}{x},g(x)=x - 1$；
②$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x},g(x)=\frac{x}{\sqrt{x}}$；
③$f(x)=\sqrt{x + 1}·\sqrt{1 - x},g(x)=\sqrt{1 - x^2}$；
④$f(x)=\sqrt{(x + 3)^2},g(x)=x + 3$；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系$f(t)=80t(0\leqslant t\leqslant5)$与一次函数$g(x)=80x(0\leqslant x\leqslant5)$.
其中表示同一个函数的是③⑤(填序号).

答案： [解析] ①不是同一个函数，定义域不同，$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$.
②不是同一个函数，对应关系不同，$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$，$g(x)=\sqrt{x}$.
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
④不是同一个函数，对应关系不同，$f(x)=|x + 3|$，$g(x)=x + 3$.
⑤是同一个函数.
[答案] ③⑤