《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

二、交集
【知识梳理】

答案： 且 交集$A∩B$ $A$ 交 $B$ $\{x|x\in A,且x\in B\}$

[例2] (1)(高考真题)设集合$A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$，$B = \{x \mid 0 \leq x ＜ \frac{5}{2}\}$，则$A \cap B =$​ (A)
A.$\{0, 1, 2\}$
B.$\{-2, -1, 0\}$
C.$\{0, 1\}$
D.$\{1, 2\}$
(2)若集合$A = \{x \mid -1 ＜ x ＜ 5\}$，$B = \{x \mid x \leq 1$，或$x \geq 4\}$，则$A \cup B =$​ $R$，$A \cap B =$​ $\{x|−1＜x\leq1,或4\leq x＜5\}$.

答案：
[解析]
(1)集合$A$中的元素只有$0$，$1$，$2$属于集合$B$，所以$A \cap B =\{0,1,2\}$.
(2)借助数轴可知:

$A\cup B=R$，$A\cap B=\{x|−1＜x\leq1,或4\leq x＜5\}$.
[答案]
(1)A
(2)$R$ $\{x|−1＜x\leq1,或4\leq x＜5\}$

跟踪训练 2. (1)已知集合$M = \{0, 1, 2, 3\}$，$N = \{x \mid 0 ＜ x ＜ 3\}$，则$M \cap N =$​ (D)
A.$\{0\}$
B.$\{x \mid x ＜ 0\}$
C.$\{x \mid 0 ＜ x ＜ 3\}$
D.$\{1, 2\}$
(2)若集合$A = \{x \mid -2 ＜ x ＜ 1\}$，$B = \{x \mid x ＜ -1$，或$x ＞ 3\}$，则$A \cap B =$​ $\{x|−2＜x＜−1\}$.

答案： 解析:
(1)因为$M=\{0,1,2,3\}$，$N=\{x|0＜x＜3\}$，
所以$M\cap N=\{1,2\}$.
(2)由集合交集的定义可得$A\cap B=\{x|−2＜x＜−1\}$.
答案:
(1)D
(2)$\{x|−2＜x＜−1\}$

三、根据并集与交集运算求参数范围
[例3] 已知集合$A = \{x \mid 2 ＜ x ＜ 4\}$，$B = \{x \mid a ＜ x ＜ 3a, a ＞ 0\}$.
(1)若$A \cup B = B$，求$a$的取值范围；
(2)若$A \cap B = \varnothing$，求$a$的取值范围.

答案：
[解]
(1)因为$A∪B=B$，所以$A⊆B$，
观察数轴可知$\begin{cases}2\geq a,\\4\leq 3a,\end{cases}$所以$\frac{4}{3}\leq a\leq2$，

故$a$的取值范围为$\{a|\frac{4}{3}\leq a\leq2\}$.
(2)$A\cap B=\varnothing$有两类情况：$B$在$A$的左边或$B$在$A$的右边，如图.

观察数轴可知，$a\geq4$或$3a\leq2$.又$a＞0$，
所以$0＜a\leq\frac{2}{3}$或$a\geq4$，
故$a$的取值范围为$\{a|0＜a\leq\frac{2}{3},或a\geq4\}$.

变式训练 1. 在[例3]条件下，若$A \cap B = \{x \mid 3 ＜ x ＜ 4\}$，求$a$的取值范围.

答案：
解:画出数轴如图.

观察图形可知$\begin{cases}a=3,\\3a\geq4,\end{cases}$即$a=3$.

2. 若[例3]变为：已知$A = \{x \mid a ＜ x \leq a + 8\}$，$B = \{x \mid x ＜ -1$，或$x ＞ 5\}$.若$A \cup B = \mathbf{R}$，求$a$的取值范围.

答案：
解:由$a＜a + 8$，又$B=\{x|x＜−1,或x＞5\}$，
在数轴上标出集合$A$，$B$，如图.

$\begin{cases}a + 8\geq5,\\a＜-1,\end{cases}$即$-3\leq a＜-1$，
即$a$的取值范围为$\{a|-3\leq a＜-1\}$.