《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. $\frac{\log_29}{\log_23} =$
(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{9}{2}$

答案： 1.B解析：原式$=\log_{3}9=\log_{3}3^{2}=2\log_{3}3=2.$

2. 设$10^a = 2,\lg3 = b$,则$\log_26 =$
(B)

A.$\frac{b}{a}$
B.$\frac{a + b}{a}$
C.$ab$
D.$a + b$

答案： 2.B解析：$\because10^{a}=2，$$\therefore\lg2=a，$
$\therefore\log_{2}6=\frac{\lg6}{\lg2}=\frac{\lg2+\lg3}{\lg2}=\frac{a+b}{a}.$

3. 已知$2^a = 5^b = 10$,则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$1.

答案： 3.解析：$\because2^{a}=5^{b}=10，$$\therefore a=\log_{2}10，$$b=\log_{5}10，$
$\therefore\frac{1}{a}=\log_{10}2=\lg2，$$\frac{1}{b}=\lg5，$
$\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\lg2+\lg5=\lg10=1.$
答案：1

4. 计算$- \frac{1}{2} + \log_23 × \log_34$的值.

答案： 4.解：原式$=-\frac{1}{2}+\frac{\lg3}{\lg2}×\frac{\lg4}{\lg3}-\frac{1}{2}+\frac{\lg3}{\lg2}×\frac{2\lg2}{\lg3}=\frac{3}{2}.$

一般地，函数$y=\log_{a}x(a＞0,且a\neq1)$叫做对数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域是$(0,+\infty)$.
注意：
(1) 对数函数的系数为 1.
(2) 真数只能是一个$x$.
(3) 底数与指数函数的范围相同.

答案： 一、$y=\log_{a}x(a＞0,且a\neq1)\ (0,+\infty)$

[例 1] (1) 下列函数是对数函数的是 (C)
A.$y = \log_{\frac{1}{2}}(-x)(x ＜ 0)$
B.$y = 2\log_{4}(x - 1)(x ＞ 1)$
C.$y = \ln x(x ＞ 0)$
D.$y = \log_{(a^{2}+a)}x(x ＞ 0,a$是常数)

答案： 例1[解析]
(1)对于A，真数是$-x$，故A不是对数函数；
对于B,$2\log_{4}(x-1)$的真数是$x-1$，故B不是对数函数；
对于C，易知③是对数函数；
对于D，底数$a^{2}+a$不一定大于0且可能等于1，故D不一定是对数
函数.
C

(2) 设$f(x)$是对数函数，且$f(\sqrt[3]{4}) = - \frac{2}{3}$，那么$f(\sqrt{2}) =$$-\frac{1}{2}$.

答案：
(2)设对数函数$f(x)=\log_{a}x(a＞0,a\neq1)$.
由$f(\sqrt[3]{4})=-\frac{2}{3}$，得$\log_{a}\sqrt[3]{4}=-\frac{2}{3}$，
所以$\frac{2}{3}\log_{a}2=-\frac{2}{3}$，则$a=\frac{1}{2}$.
所以$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$，故$f(\sqrt{2})=\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}=-\frac{1}{2}$.
(2)$-\frac{1}{2}$

1. (1) 下列函数是对数函数的是 (B)
A.$y = \log_{a}(5 + x)(a ＞ 0$，且$a ≠ 1)$
B.$y = \log_{(\sqrt{3}-1)}x$
C.$y = \log_{3}(-x)$
D.$y = \log_{x}\sqrt{3}(x ＞ 0$，且$x ≠ 1)$

答案： 跟踪训练
1B.解析：
(1)A和C中自变量不是$x$，$\therefore$不是对数函数；D中底数是$x$，不
是常数；B符合对数函数的特征，$\therefore$是对数函数.

(2) 已知对数函数$f(x)$的图象过点$P(8,3)$，则$f(\frac{1}{32}) =$$-5$.

答案：
(2)设对数函数$f(x)=\log_{a}x(a＞0,且a\neq1)$.
$\because f(x)$的图象过点$P(8,3)$，
$\therefore3=\log_{a}8$，$\therefore a^{3}=8$，解得$a=2$，$\therefore f(x)=\log_{2}x$，
$\therefore f(\frac{1}{32})=\log_{2}\frac{1}{32}=\log_{2}2^{-5}=-5$.
 
(2)$-5$