《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 若$a＞0$，且$a\neq1$，则函数$y = \log_a (x - 1) + 1$的图象恒过定点(2,1).

答案： 1.解析：令$\log_a(x - 1) = 0$，得$x = 2$，此时$y = 1$，
$\therefore y = \log_a(x - 1) + 1$的图象恒过定点$(2,1)$.
答案：$(2,1)$

2. 画出函数$y = |\log_2 (x + 1)|$的图象，并写出函数的值域及单调区间.

答案：
2.解：函数$y = |\log_2(x + 1)|$的图象如图所示.

由图象知，其值域为$[0, +\infty)$，单调递减区间是$(-1,0]$，单调递增区间是$(0, +\infty)$.

[例 2] 比较下列各组中两个值的大小：
(1) $\log_3 1.9, \log_3 2$；
(2) $\log_2 3, \log_{0.3} 2$；
(3) $\log_a \pi, \log_a 3.14 (a＞0,且 a\neq1)$；
(4) $\log_5 0.4, \log_6 0.4$；
(5) $\log_3 4, \log_4 5$.

答案：
[解]
(1)因为$y = \log_3x$在$(0, +\infty)$上单调递增，$1.9 ＜ 2$，所以$\log_31.9 ＜ \log_32$.
(2)因为$\log_23 ＞ \log_21 = 0,\log_{0.3}2 ＜ \log_{0.3}1 = 0$，
所以$\log_23 ＞ \log_{0.3}2$.
(3)当$a ＞ 1$时，函数$y = \log_ax$在$(0, +\infty)$上单调递增.
又$\pi ＞ 3.14$，则有$\log_a\pi ＞ \log_a3.14$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数$y = \log_ax$在$(0, +\infty)$上单调递减.
又$\pi ＞ 3.14$，则有$\log_a\pi ＜ \log_a3.14$.
综上所述，当$a ＞ 1$时，$\log_a\pi ＞ \log_a3.14$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$\log_a\pi ＜ \log_a3.14$.
(4)在同一平面直角坐标系中，作出$y = \log_5x$，$y = \log_6x$的图象，再作出直线$x = 0.4$(图略)，观察图象可得$\log_50.4 ＜ \log_60.4$.
(5)$\log_34 = \log_3(3 × \frac{4}{3}) = 1 + \log_3\frac{4}{3}$，
$\log_45 = \log_4(4 × \frac{5}{4}) = 1 + \log_4\frac{5}{4}$，
故比较$\log_3\frac{4}{3}$与$\log_4\frac{5}{4}$的大小.
法一：作出函数$y = \log_3x$与$y = \log_4x$的图象，

如图，得$\log_3\frac{4}{3} ＞ \log_4\frac{5}{4}$，
所以$\log_34 ＞ \log_45$.
法二：$\log_3\frac{4}{3} ＞ \log_4\frac{4}{3} ＞ \log_4\frac{5}{4}$，
$\log_34 ＞ \log_45$.

3. 比较大小：
(1) $\log_a 5.1, \log_a 5.9 (a＞0,且 a\neq1)$；
(2) $\log_3 \pi, \log_2 \sqrt{3}, \log_3 \sqrt{2}$.

答案： 3.解：
(1)当$a ＞ 1$时，$y = \log_ax$在$(0, +\infty)$上是增函数.
又$5.1 ＜ 5.9$，所以$\log_a5.1 ＜ \log_a5.9$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$y = \log_ax$在$(0, +\infty)$上是减函数.
又$5.1 ＜ 5.9$，所以$\log_a5.1 ＞ \log_a5.9$.
综上所述，当$a ＞ 1$时，$\log_a5.1 ＜ \log_a5.9$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$\log_a5.1 ＞ \log_a5.9$.
(2)因为$\log_2\sqrt{3} = \frac{1}{2}\log_23$，
又$1 ＜ \log_23 ＜ 2$，所以$\frac{1}{2} ＜ \log_2\sqrt{3} ＜ 1$.
又$\log_3\sqrt{2} = \frac{1}{2}\log_32 ＜ \frac{1}{2}$，$\log_3\pi ＞ 1$，
所以$\log_3\pi ＞ \log_2\sqrt{3} ＞ \log_3\sqrt{2}$.

[例 3] 解下列关于$x$的不等式：
(1) $\log_{\frac{1}{2}} x ＞ \log_{\frac{1}{2}} (4 - x)$；
(2) $\log_a (2x - 5) ＞ \log_a (x - 1)$；
(3) $\log_x \frac{1}{2} ＞ 1$.

答案： [解]
(1)由题意可得$\begin{cases} x ＞ 0, \\ 4 - x ＞ 0, \\ x ＜ 4 - x \end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ 2$.所以原不等式的解集为$\{x|0 ＜ x ＜ 2\}$.
(2)当$a ＞ 1$时，原不等式等价于$\begin{cases} 2x - 5 ＞ 0, \\ x - 1 ＞ 0, \\ 2x - 5 ＞ x - 1. \end{cases}$
解得$x ＞ 4$.
当$0 ＜ a ＜ 1$时，原不等式等价于$\begin{cases} 2x - 5 ＞ 0, \\ x - 1 ＞ 0, \\ 2x - 5 ＜ x - 1. \end{cases}$
解得$\frac{5}{2} ＜ x ＜ 4$.
综上所述，当$a ＞ 1$时，原不等式的解集为$\{x|x ＞ 4\}$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，原不等式的解集为$\{x|\frac{5}{2} ＜ x ＜ 4\}$.
(3)当$x ＞ 1$时，$\log_x\frac{1}{2} ＞ \log_xx$，
所以$x ＜ \frac{1}{2}$，无解；
当$0 ＜ x ＜ 1$时，$\log_x\frac{1}{2} ＞ \log_xx$，
所以$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 1$.
综上，原不等式的解集为$(\frac{1}{2},1)$.