《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 4] (1)设$M, P$是两个非空集合，定义$M$与$P$的差集为$M - P = \{ x \mid x \in M, 且 x \notin P \}$，则$M - (M - P) =$ (C)
A.$P$
B.$M$
C.$M \cap P$
D.$M \cup P$

答案：
[解析]C　
(1)法一:设全集为U，根据定义“x∈M，且x∉P”等价于“x∈[M∩(∁UP)]”，
　则M−P=M∩(∁UP)。
　于是有M−(M−P)=M−[M∩(∁UP)]=M∩[(∁UM)∪P)]=[(M ∩(∁UM)]∪(M∩P)=∅∪(M∩P)=M∩P。
　法二:M−P={x|x∈M，且x∉P}是指图1中的阴影部分，
　同样M−(M−P)是指图2中的阴影部分，
　故M−(M−P)=M∩P。
　　　　　　　　　　

(2)设全集$U = \{ 1, 2, 3 \}$，集合$A, B (A \neq B)$都是$U$的子集，若$A \cap B = \{ 1 \}$，则称$A, B$为“理想配集”，记作$(A, B)$，$(A, B)$和$(B, A)$是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”$(A, B)$有4种.

答案： 4　
(2)由A∩B={1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}，
　所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况。
　因为(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，
　所以集合A，B的可能情况有:
　①A={1}，B={1,2}；
　②A={1}，B={1,3}；
　③A={1}，B={1,2,3}；
④A={1,2}，B={1,3}。
　所以这样的(A，B)有4种。

[例 5] (1)某航空公司为研究飞机坠毁原因，需要找到飞机自带的两部飞行记录器(黑匣子)，如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.若先找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，初步判定为驾驶舱话音记录器，则“找到驾驶舱话音记录器”是“初步事故原因认定”的 (C)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： [解析]　
(1)因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，所以“找到驾驶舱话音记录器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶舱话音记录器”，故“找到驾驶舱话音记录器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件。C

(2)已知集合$A = \{ 1, a \}$，$B = \{ 0, 1, 2 \}$，则“$a = 2$”是“$A \subseteq B$”的充分不必要条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

答案： 　
(2)由题意，得当a=2时，A={1,2}。
∵B={0,1,2}，
∴A⊆B，
∴“a=2”能推出“A⊆B”。
∵当A⊆B时，有a=2，或a=0，即“A⊆B”不一定能推出“a=2”，
∴“a=2”是“A⊆B”的充分不必要条件。
充分不必要

六、充分条件与必要条件的应用
[例 6] 若“$x = 2$”是“$m^2 x^2 - (m + 3)x + 4 = 0$”的充分不必要条件，则实数$m$的值为 (B)

A.1
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$或 1
D.-1 或$-\frac{1}{2}$

答案： B　[解析]　因为“x=2”是“m²x²−(m+3)x+4=0”的充分条件，所以当x=2时，m²x²−(m+3)x+4=0，所以4m²−2m−2=0，解得m=−$\frac{1}{2}$或m=1。
　当m=1时，m²x²−(m+3)x+4=0可化为x²−4x+4=0，解得x=2，此时“x=2”是“m²x²−(m+3)x+4=0”的充要条件，应舍去；
　当m=−$\frac{1}{2}$时，m²x²−(m+3)x+4=0可化为x²−10x+16=0，
　解得x=2或x=8，此时“x=2”是“m²x²−(m+3)x+4=0”的充分不必要条件。故m=−$\frac{1}{2}$。

[例 7] (1)设命题$p$：$\exists n \in \mathbf{N}, n^2 ＞ 2^n$，则$\neg p$为 (C)
A. $\forall n \in \mathbf{N}, n^2 ＞ 2^n$
B. $\exists n \in \mathbf{N}, n^2 \leqslant 2^n$
C. $\forall n \in \mathbf{N}, n^2 \leqslant 2^n$
D. $\exists n \in \mathbf{N}, n^2 = 2^n$
(2)下列命题中真命题的个数为 (C)
①$\exists x \in \mathbf{R}$，方程$x^2 - x - 1 = 0$有解；
②$\forall x \in \mathbf{R}, y \in \mathbf{R}$，都有$x^2 + |y| ＞ 0$；
③至少有一个菱形不是正方形；
④$\exists x \in \{ x \mid x 是无理数 \}, x^2$是无理数.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案：
(1)C　
(2)C　[解析]　
(1)由存在量词命题的否定知C正确。
(2)对于①，
∵Δ=1+4=5＞0，
∴方程有解。
∴①正确。
　对于②，
∵当x=y=0时，x²+|y|=0，
∴②错误。
　对于③，
∵当菱形内角都不为90°时，菱形不是正方形，
∴③正确。
　对于④，
∵π是无理数，π²是无理数，
∴④正确。
∴正确的有3个。

[例 8] (1)已知$p$：$\exists x \in \mathbf{R}, x^2 + 4x + a = 0$. 若$p$是真命题，则实数$a$的取值范围是 (B)
A.$\{ a \mid 0 ＜ a ＜ 4 \}$
B.$\{ a \mid a \leqslant 4 \}$
C.$\{ a \mid a ＜ 0 \}$
D.$\{ a \mid a \geqslant 4 \}$

答案： [解析]　
(1)因为p：∃x∈R，x²+4x+a=0是真命题，
　所以方程x²+4x+a=0有实数根，
　所以Δ=4²−4a≥0，解得a≤4，
　故实数a的取值范围为{a|a≤4}。
　B

(2)已知命题$p$：“$\forall x \geqslant 3$，使得$2x - 1 \geqslant m$”是真命题，则实数$m$的最大值是5.

答案：
(2)当x≥3时，2x≥6⇒2x−1≥5。因为“∀x≥3，使得2x−1≥m”是真命题，所以当x≥3时，(2x−1)min≥m，即m≤5。
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