《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(A)

A.都可由 $[0, 2\pi]$ 内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与 $ x$ 轴有无数个交点
D.$ y = \sin(-x)$ 的图象与 $ y = \sin x$ 的图象关于 $ x$ 轴对称

答案： 1.A解析:由正弦、余弦函数的图象知,B,C,D正确.

[例 2]
用“五点法”作下列函数的图象：
(1) $ y = 1 - 2\sin x$，$ x \in [0, 2\pi]$；
(2) $ y = \cos x + \dfrac{1}{2}$，$ x \in [-\pi, \pi]$。

答案：
[解]　
(1)列表:
x 0 $\frac{π}{2}$ π $\frac{3π}{2}$ 2π
sinx 0 1 0 -1 0
1 - 2sinx 1 -1 1 3 1
描点连线，画图如下.

(2)列表:
x -π -$\frac{π}{2}$ 0 $\frac{π}{2}$ π
cosx -1 0 1 0 -1
cosx + $\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{2}$
描点连线，画图如下.

2. 用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数 $ y = -\sin x$，$ y = 2 - \cos x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的图象。

答案：
2.解:列表:
x -π -$\frac{π}{2}$ 0 $\frac{π}{2}$ π
-sinx 0 -1 0 1 0
2 - cosx 3 2 1 2 3
描点连线，画图如下.

[例 3]
已知函数 $ f(x) = \sin x + 2|\sin x|$，$ x \in [0, 2\pi]$ 的图象与直线 $ y = k$ 有且仅有两个不同的交点，则实数 $ k$ 的取值范围是(1,3)。

答案：
[解析]　f(x)=sinx+2|sinx|=$\begin{cases} 3\sin x, x \in [0, \pi), \\ -\sin x, x \in [\pi, 2\pi], \end{cases}$画出函数的图象，如图.
由图象可知，当1＜k＜3时，函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点.

故实数k的取值范围为(1,3).
[答案]　(1,3)

3. 方程 $ \sin x = \lg x$ 的实根有(C)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.无穷多个

答案：
3.C解析:在同一直角坐标系中作函数y = sin x与y = lg x的图象.
由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi,yi)，其中xi∈(1,10)(i =1,2,3)是方程sinx = lgx的解.