《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

18. (数形结合法)甲、乙两人相约登山,他们同时从入口处出发,甲步行登山到山顶,乙先步行 15 分钟到缆车站,再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度 y(米)与甲登山的时间 x(分钟)之间的函数图象如图所示.
(1)当 $ 15 \leq x \leq 40 $ 时,求乙距山脚的垂直高度 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)求乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.

答案：
(1)解:设乙距山脚的垂直高度$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b$,$\because$直线过$(15,0)$和$(40,300)$,$\therefore \left\{\begin{array}{l} 15k+b=0\\ 40k+b=300\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} k=12\\ b=-180\end{array}\right.$,$\therefore$当$15\leqslant x\leqslant 40$时,乙距山脚的垂直高度$y$与$x$之间的函数关系式为$y =12x-180$.　　
(2)当$25\leqslant x\leqslant 60$时，设甲的函数表达式为$y=mx+n$，将$(25,160)$和$(60,300)$代入得$\left\{\begin{array}{l} 160=25m+n\\ 300=60m+n\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} m=4\\ n=60\end{array}\right.$,$\therefore y =4x+60(25\leqslant x\leqslant 60)$. $\because$乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度也相同，$\therefore \left\{\begin{array}{l} y=12x-180\\ y=4x+60\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} x=30\\ y=180\end{array}\right.$，乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米.

19. 已知方程 $ (m - 2)x^{|m| - 1} + y^{2n - 1} = 4 $ 是关于 x,y 的二元一次方程,则 $ m + n = $-1.

答案： -1

20. (贵州省中考改编)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走路程 s(单位:步)关于善行者的行走时间 t 的函数图象,则两图象交点 P 的纵坐标是250.

答案： 250

21. 已知一次函数 $ y_{1} = kx + b $ 与 $ y = - 2x $ 的图象平行,且与 x 轴的交点 A 的横坐标为 2.
(1)填空: $ k = $____,$ b = $____;
(2)在下面的平面直角坐标系中,画出一次函数 $ y_{1} $ 和 $ y_{2} = x + 1 $ 的图象,并借助图象求方程组 $ \begin{cases} y = kx + b, \\ y = x + 1 \end{cases} $ 的解;
(3)若 $ y_{2} $ 与 x 轴的交点为 B,$ y_{1} $ 和 $ y_{2} $ 两图象的交点为 C,在 $ y_{2} $ 的图象上是否存在点 P,使得 $ \triangle OBP $ 的面积与 $ \triangle ABC $ 的面积相等? 若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：

(1)-2　4　
(2)解:画出一次函数$y_{1}$和$y_{2}=x+1$的图象如图所示 ,由图象可知一次函数$y_{1}$和$y_{2}=x+1$的图象的交点坐标为$(1,2)$,$\therefore$方程组$\left\{\begin{array}{l} y=kx+b\\ y=x+1\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=2\end{array}\right.$.　　
(3)令$y=0$,则$x+１=0$,解得$x=-1$,$\therefore B(-1,0)$.$\therefore OB=1$.$\because A(2,0)$,$C(1,2)$,$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× (2+1)× 2 =3$.设$P(x,x+1)$,$\because \triangle OBP$的面积与$\triangle ABC$的面积相等,$\therefore \frac{1}{2}× 1× |x+1|=3$,解得$x=5$或$x=-7$.$\therefore$点$P$的坐标为$(5,6)$或$(-7,-6)$.