《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

【教材母题】(教材第73页复习题第8题)在如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A(0,0),B(3,6),C(14,8),D(16,0),确定这个四边形的面积.你是怎么做的？与同伴进行交流.

[方法指导]对于不规则图形,可考虑将图形分割成直角三角形,长方形或梯形,通过求其面积之和,得到要求图形的面积.
方法2:补形法
[方法指导]当图形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行时,可考虑将图形补成常见的长方形或梯形,再通过常见图形面积的和差,得到要求图形的面积.

答案：

方法1:解:如题图,作BE⊥OD于点E,CF⊥OD于点F,BH⊥CF于点H.S四边形ABCD=S△ABE+S△BHC+S△CDF+S长方形BEFH=$\frac{1}{2}$×3×6+$\frac{1}{2}$×11×2+$\frac{1}{2}$×8×2+6×11=9+11+8+66=94.
方法2:解:如备用图,作CE⊥y轴于点E,BF⊥CE于点F,DH⊥EC的延长线于点H.S四边形ABCD=S长方形ADHE - S△CDH - S△BCF - S梯形ABFE =16×8 - $\frac{1}{2}$×2×8 - $\frac{1}{2}$×11×2 - $\frac{1}{2}$×(2 + 8)×3=128 - 8 - 11 - 15=94.

【变式1】如图,已知A(-4,-5),B(-2,0),C(4,0),求△ABC的面积.

答案： 解:
∵A(-4,-5),B(-2,0),C(4,0),
∴BC = 6,BC边上的高为A的纵坐标的绝对值,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×|-5|=15.

【变式2】如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-3,2),C(-4,0),D(0,0),求四边形ABCD的面积.

答案： 解:作AE⊥x轴于点E,BF⊥x轴于点F.S四边形ABCD=S△ADE+S梯形AEFB+S△BCF=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×(2 + 3)×2+$\frac{1}{2}$×1×2=1.5+5+1=7.5.故四边形ABCD的面积为7.5.

【变式3】如图,A(-5,4),B(-2,-2),C(0,2),求△ABC的面积.

答案： 解:作AD⊥y轴于点D,BF⊥y轴于点F,延长FB交过点A且平行于y轴的直线于点E.S△ABC=S长方形ADFE - S△ABE - S△BCF - S△ADC=5×6 - $\frac{1}{2}$×3×6 - $\frac{1}{2}$×2×4 - $\frac{1}{2}$×2×5=30 - 9 - 4 - 5 = 12.