《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

14. 函数 $ y = 3x + 2 $ 的图象上存在点 $ P $,使得 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离等于 $ 3 $,则点 $ P $ 的坐标为(1/3,3)或(-5/3,-3).

答案： (1/3,3)或(-5/3,-3)

15. 当 $ m = $3,0,-1/2时,$ y = (m - 3)x^{2m + 1} + 4x - 5(x eq 0) $ 是一次函数.

答案： 3,0,-1/2

16. (核心素养·空间观念)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,正比例函数图象上有一点 $ A(3,2) $,点 $ B $ 在 $ x $ 轴上,作直线 $ AB $,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,5) $.
(1)求正比例函数的表达式；
(2)求点 $ B $ 的坐标；
(3)在直线 $ OA $ 上是否存在一点 $ P $,使 $ \triangle ABP $ 的面积等于 $ \triangle BOC $ 的面积？若存在,请求出点 $ P $ 的坐标,若不存在,请说明理由.

答案：
(1)解:设正比例函数的表达式为y=kx,将点A的坐标代入上式,得2=3k,解得k=2/3,则正比例函数的表达式为y=2/3x.
(2)设直线AB的表达式为y=ax+b,把C(0,5),A(3,2)代入,得b=5,3a+b=2,解得a=-1.
∴直线AB的表达式为y=-x+5,把y=0代入y=-x+5,得x=5,
∴点B的坐标为(5,0).
(3)存在.理由如下:
∵B(5,0),C(0,5),
∴S△BOC=1/2×5×5=25/2,过点P作PH//y轴交直线AC于点H,设点P(x,2/3x),则点H（x，-x+5），则PH=|2/3x+x-5|=|5/3x-5|，则S△ABP=1/2×PH(xB-xA)=1/2×|5/3x-5|×(5-3)=25/2,解得x=-9/2或21/2,
∴点P的坐标为(-9/2,-3)或(21/2,7).