《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

7. 已知直线 $ y = x + b $ 和 $ y = ax - 3 $ 交于点 $ P(2,1) $,则关于 $ x $ 的方程 $ x + b = ax - 3 $ 的解为x=2。

答案： x=2

8. (陕西省中考) 在同一平面直角坐标系中,直线 $ y = -x + 4 $ 与 $ y = 2x + m $ 相交于点 $ P(3,n) $,则关于 $ x $,$ y $ 的方程组 $ \begin{cases} x + y - 4 = 0, \\ 2x - y + m = 0 \end{cases} $ 的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$。

答案： $\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$

9. (教材第129页随堂练习第3题变式) 若方程组 $ \begin{cases} y = kx + 3, \\ y = (3k + 1)x + 2 \end{cases} $ 无解,则 $ y = kx - 2 $ 的图象不经过第一象限。

答案： 一

10. 如图,在平面直角坐标系中,已知正比例函数 $ y = \dfrac{3}{4}x $ 与一次函数 $ y = -x + 7 $ 的图象交于点 $ A $。
(1) 求点 $ A $ 的坐标；
(2) 设 $ x $ 轴上有一点 $ P(a,0) $,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线(垂线位于点 $ A $ 的右侧),分别交 $ y = \dfrac{3}{4}x $ 和 $ y = -x + 7 $ 的图象于点 $ B $,$ C $,连接 $ OC $,若 $ BC = 7 $,求 $ \triangle OBC $ 的面积。

答案：
(1)解:由题意得$\begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x, \\ y=-x+7, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=4, \\ y=3, \end{cases}$所以点A的坐标为(4,3).
(2)因为P(a,0),所以$B\left(a,\dfrac{3}{4}a\right),C(a,-a+7),$所以$BC=\dfrac{3}{4}a-(-a+7)=\dfrac{7}{4}a-7,$所以$\dfrac{7}{4}a-7=7,$解得a=8,所以$S_{\triangle OBC}=\dfrac{1}{2}BC·OP=\dfrac{1}{2}×7×8=28.$

11. (核心素养·应用意识) 已知二元一次方程 $ x + y = 5 $,通过列举将方程的解写成下列表格的形式：

如果将二元一次方程的解所包含的未知数 $ x $ 的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标,未知数 $ y $ 的值对应这个点的纵坐标,这样每一个二元一次方程的解,就可以对应平面直角坐标系中的一个点,例如：方程 $ x + y = 5 $ 的解 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases} $ 的对应点是 $ (2,3) $。

(1) 表格中的 $ m = $0,$ n = $-1；
(2) 通过以上确定对应点坐标的方法,将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标,请在所给的平面直角坐标系中画出这五个点；根据这些点猜想方程 $ x + y = 5 $ 的解的对应点所组成的图形是直线,并写出它的两个特征：①图象经过第一、二、四象限,②图象从左向右呈下降趋势；
(3) 若点 $ P(-2a,a - 1) $ 恰好落在 $ x + y = 5 $ 的解对应的点组成的图形上,求 $ a $ 的值。
解:由题意,得-2a+a-1=5.解得a=-6.

答案：
(1)0 -1
(2) 直线 图象经过第一、二、四象限 图象从左向右呈下降趋势
(3)解:由题意,得-2a+a-1=5.解得a=-6.