《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

1. 如图,一次函数 $ y = mx + 2 $ 的图象经过点 $ A(2,4),B(n,-1) $.
(1)求 $ m,n $ 的值;
(2)连接 $ OA,OB $,求 $ \triangle OAB $ 的面积.

答案： 1.
(1)解:
∵一次函数y=mx+2的图象经过点A(2,4),
∴2m+2=4,解得m=1.
∴一次函数表达式为y=x+2,
∵一次函数y=x+2的图象经过点B(n,-1),
∴n+2=-1,解得n=-3.
(2)设直线AB与y轴的交点为C,令x=0,则y=2,
∴点C的坐标为(0,2),
∴OC=2,
∴S△OAB=S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×3=2+3=5.

2. 如图,直线 $ y = 2x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,将直线 $ AB $ 向下平移后经过点 $ P(3,0) $.
(1)求平移后的直线所对应的函数表达式;
(2)求 $ \triangle PAB $ 的面积.

答案： 2.
(1)解:设平移后的直线所对应的函数表达式为y=2x+b,将点P(3,0)代入,得0=2×3+b,解得b=-6.
∴平移后的直线所对应的函数表达式为y=2x-6.
(2)对于y=2x+3,当x=0时,y=3;当y=0时,x=-$\frac{3}{2}$.
∴点A$(-\frac{3}{2},0)$,点B(0,3),
∴AP=$|3-(-\frac{3}{2})|$=$\frac{9}{2}$,
∴S△PAB=$\frac{1}{2}$AP·OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3=$\frac{27}{4}$.

3. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A(0,4) $,且过点 $ B(2,3) $.
(1)求一次函数的表达式;
(2)直线 $ y = kx + b $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ C $ 点,点 $ P $ 在该函数图象上,且 $ \triangle POC $ 的面积为 $ 4 $,求 $ P $ 点的坐标.

答案： 3.
(1)解:将点A(0,4),点B(2,3)代入一次函数y=kx+b得b=4,2k+b=3,解得k=-0.5.
∴所求的函数表达式为y=-0.5x+4.
(2)当y=0时,则y=-0.5x+4=0,解得x=8,
∴点C的坐标为(8,0),
∴S△POC=$\frac{1}{2}$h·OC=4,解得h=1,故点P纵坐标的绝对值为1,
∴P点的坐标可能为(6,1)或(10,-1).

4. (动点问题)如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B(0,2) $. 已知点 $ C(-1,3) $ 在该图象上,连接 $ OC $.
(1)求函数 $ y = kx + b $ 的关系式;
(2)点 $ P $ 为 $ x $ 轴上一动点,若 $ S_{\triangle ACP} = 2S_{\triangle AOB} $,求点 $ P $ 的坐标.

答案： 4.
(1)解:把B(0,2),C(-1,3)代入到y=kx+b中得b=2,-k+b=3,解得k=-1.
∴函数y=kx+b的关系式为y=-x+2.
(2)设点P的坐标为(m,0),令y=0,则x=2,
∴A(2,0),
∴AP=|m-2|,OA=OB=2,
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$OA·OB=$\frac{1}{2}$×2×2=2,
∵S△ACP=2S△AOB,
∴$\frac{1}{2}$AP·yC=4,
∴$\frac{3}{2}$|m-2|=4,
∴m=$\frac{14}{3}$或m=-$\frac{2}{3}$,
∴点P的坐标为$(\frac{14}{3},0)$或$(-\frac{2}{3},0)$.