《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

利用勾股定理求最短路径:在立体图形上找最短距离,通常要把立体图形转化为平面图形,再利用"两点之间线段最短"这个性质,找到立体图形表面上两点间的最短路径,并用勾股定理求解.

答案： 线段最短

如图所示,有一个圆柱形油罐,已知油罐的底面圆的周长是 8m,高是 6m,要从 A 点起环绕油罐建梯子,梯子的顶端恰好到达点 A 的正上方点 B,则梯子最短需要多长?

答案： 解：设该长方形田的宽为$x$步,则对角线长为$(50 - x)$步,由勾股定理,得$30^{2}+x^{2}= (50 - x)^{2}$,解得$x = 16$,
面积：$30×16 = 480$(平方步)。
答：该田的面积为480平方步。

1. (金华市中考)如图,圆柱的底面直径为 AB,高为 AC,一只蚂蚁在 C 处,沿圆的侧面爬到 B 处,现将圆柱侧面沿 AC"剪开",在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是 (C)

答案： 1.C

2. 如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点 A 到顶点 $ A' $ 镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为 8cm,底面边长为 2cm,则这圈金属丝的长度至少为10cm.

答案： 2.10

3. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A 和 B 是两个相对的点,则 A 点蚂蚁想吃到 B 点食物的最短路程是25dm.

答案： 3.25dm

4. 如图,长方体的长为 2,宽为 1,高为 4,一只蚂蚁欲从长方体底面上的点 A,沿长方体的表面爬到点 $ C' $ 处,则爬行的最短路程为4.5.

答案： 4.5

5. 如图,牧童在河边 A 处放牛,家在河边 B 处,时近傍晚,牧童驱赶牛群先到河边饮水,然后在天黑前赶回家.已知 A 点到河边 C 的距离为 500m,点 B 到河边 D 的距离为 700m,且 $ CD = 500\mathrm{m} $.
(1)请在原图上画出牧童回家的最短路线;
(2)求出最短路线的长度.

答案：
5.（1）解:如图 ，作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于点P，连接AP，则AP+PB即为所求作的最短路线. （2）由作图可得最短路线为A'B的长度，过点A'作A'F⊥BD的延长线于点F，则DF=A'C=AC=500m，A'F=CD=500m，BF=700+500=1200(m). 根据勾股定理，可得A'B²=1200²+500²=1300²，
∴A'B=1300m. 即最短路线的长度为1300m.