《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

14. 已知 $ 2 a-1 $ 的平方根是 $ \pm 3 $,$ \sqrt{b^{2}} $ 的算术平方根为 $ 2 $,求 $ a-b $ 的平方根.

答案： 解:
∵$2a-1$的平方根是$\pm 3$,
∴$2a-1=9$,解得$a=5$.又
∵$\sqrt{b^{2}}$的算术平方根为2,
∴$\sqrt{b^{2}}=4$,解得$b=\pm 4$.
∴$a-b=9$或1.
∴$a-b$的平方根为$\pm 3$或$\pm 1$.

15. (核心素养·推理能力)探究并解决问题.
(1) 通过计算下列各式的值探究问题.
① $ \sqrt{4^{2}}= $4；$ \sqrt{16^{2}}= $16；$ \sqrt{0^{2}}= $0；$ \sqrt{\left(\frac{1}{9}\right)^{2}}= $$\frac{1}{9}$.
探究：对于任意非负有理数 $ a $,$ \sqrt{a^{2}}= $a.
② $ \sqrt{(-3)^{2}}= $3；$ \sqrt{(-5)^{2}}= $5；$ \sqrt{(-1)^{2}}= $1；$ \sqrt{(-2)^{2}}= $2.
探究：对于任意负有理数 $ a $,$ \sqrt{a^{2}}= $$-a$.
综上,对于任意有理数 $ a $,$ \sqrt{a^{2}}= $$|a|=\left\{\begin{array}{l} a(a\geq 0),\\ -a(a＜0)\end{array}\right.$.
(2) 应用(1)所得结论解决问题：有理数 $ a $,$ b $ 在数轴上的位置如图所示,化简：$ \sqrt{a^{2}}+|b-a|-\sqrt{(a-b)^{2}} $.

解:由数轴可得:$a＜0$,$b-a＞0$,$a-b＜0$,
∴$\sqrt{a^{2}}=-a$,$|b-a|=b-a$,$\sqrt{(a-b)^{2}}=|a-b|=-a+b$,
∴$\sqrt{a^{2}}+|b-a|-\sqrt{(a-b)^{2}}=-a+b-a-(-a+b)=-a+b-a+a-b=-a$.

答案：
(1)①4 16 0 $\frac{1}{9}$ a ②3 51 2 $-a$ $|a|=\left\{\begin{array}{l} a(a\geq 0),\\ -a(a＜0)\end{array}\right.$
(2)解:由数轴可得:$a＜0$,$b-a＞0$,$a-b＜0$,
∴$\sqrt{a^{2}}=-a$,$|b-a|=b-a$,$\sqrt{(a-b)^{2}}=|a-b|=-a+b$,
∴$\sqrt{a^{2}}+|b-a|-\sqrt{(a-b)^{2}}=-a+b-a-(-a+b)=-a+b-a+a-b=-a$.

一个正数的两个平方根是 $ 2 a+1 $ 和 $ 4-3 a $,则 $ a= $5.

答案： 5

【变式】若某个正数的两个平方根是 $ a-3 $ 与 $ a+5 $,则这个正数为16.

答案： 16

【拓展】若 $ 2 a-1 $ 和 $ -a+2 $ 是一个正数的平方根,求这个正数.

答案： 解:
∵一个正数的平方根是$2a-1$和$-a+2$,
∴$2a-1-a+2=0$,解得$a=-1$,即这个正数是$[2× (-1)-1]^{2}=9$,或$2a-1=-a+2$,解得$a=1$,
∴这个数为1.故这个正数是9或1.