《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

13. (烟台市中考)下列二次根式中,与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是(C)
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{12}$

答案： C

14. (新情境)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为 2 和 8,则图中阴影部分的面积为2.

答案： 2

15. 计算下列各题：
(1)$\sqrt{18} - \sqrt{72} + \sqrt{50}$；
(2)$\sqrt{18}×\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{48} - \sqrt{54}÷\sqrt{2} + (3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})$.

答案：
(1)解:原式=3$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$+5$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$.
(2)解:原式=$\sqrt{18×\frac{1}{2}}÷\sqrt{3}$=$\sqrt{9}÷\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$.
(3)解:原式=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{54}÷2$+9-3=4$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$+9-3=$\sqrt{3}$+6.

16. 先化简,后求值：$(a + \sqrt{5})(a - \sqrt{5}) - a(a - 2)$,其中$a = \sqrt{2} + 1$.

答案： 解:(a+$\sqrt{5}$)(a-$\sqrt{5}$)-a(a-2)=a²-5-a²+2a=2a-5,将a=$\sqrt{2}$+1代入2a-5得,2($\sqrt{2}$+1)-5=2$\sqrt{2}$+2-5=2$\sqrt{2}$-3.

17. 将$a\sqrt{-\frac{1}{a}}$中根号外的因式移到根号内,所得结果正确的是(B)
A.$\sqrt{-a}$
B.$-\sqrt{-a}$
C.$-\sqrt{a}$
D.$\sqrt{a}$

答案： B

18. 已知$y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} - 2$,则$2x - y$的值是10.

答案： 10

19. 已知$25x^2 - 144 = 0$,且$x ＞ 0$,则$2\sqrt{5x + 13}$的平方根为±$\sqrt{10}$.

答案： ±$\sqrt{10}$

20. (注重阅读理解)像$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$,$\sqrt{48 - \sqrt{45}}$,…,这样的根式叫作复合二次根式,有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简,
如：$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$,
再如：$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{6} + 2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：$\sqrt{12 + 2\sqrt{35}} = $$\sqrt{7}+\sqrt{5}$；
(2)化简：$\sqrt{16 - 2\sqrt{15}} = $$\sqrt{15}-1$；
(3)若$a + 6\sqrt{5} = (m + \sqrt{5}n)^2$,且$a$,$m$,$n$为正整数,求$a$的值.

答案：
(1)$\sqrt{7}+\sqrt{5}$
(2)$\sqrt{15}-1$
(3)解:
∵a+6$\sqrt{5}$=(m+$\sqrt{5}$n)²,
∴a+2×3×$\sqrt{5}$=a+2×1×3$\sqrt{5}$=(m+$\sqrt{5}$n)²,即(3+$\sqrt{5}$)²=(m+$\sqrt{5}$n)²,或(1+3$\sqrt{5}$)²=(m+$\sqrt{5}$n)²,
∴a=3²+($\sqrt{5}$)²=14,m=3,n=1,或a=1²+(3$\sqrt{5}$)²=46,m=1,n=3,
∴a的值为14或46.