《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

1. 比较下列各组数的大小.
(1)$\frac{\sqrt{5}}{2}与\frac{\sqrt{11}}{3}$；
(2)$\sqrt[3]{3}与\frac{3}{2}$.

答案： 1.
(1)解：$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{5}{4}=\frac{45}{36}$，$\left(\frac{\sqrt{11}}{3}\right)^2=\frac{11}{9}=\frac{44}{36}$，$\because\frac{45}{36}＞\frac{44}{36}$，$\therefore\frac{\sqrt{5}}{2}＞\frac{\sqrt{11}}{3}$。
(2)解：$(\sqrt[3]{3})^3=3$，$\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}$，$\because3＜\frac{27}{8}$，$\therefore\sqrt[3]{3}＜\frac{3}{2}$。

2. 试用作差法比较$5-\sqrt{5}和\sqrt{5}$的大小.

答案： 2.解：$\because\sqrt{5}-(5-\sqrt{5})=2\sqrt{5}-5=\sqrt{20}-\sqrt{25}＜0$，$\therefore5-\sqrt{5}＞\sqrt{5}$。

3. 比较下列各数的大小.
(1)$\frac{3-\sqrt{5}}{2}与\frac{3}{8}$；
(2)$3\sqrt{2}-1和1+2\sqrt{2}$.

答案： 3.
(1)解：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{8}=\frac{12-4\sqrt{5}-3}{8}=\frac{9-4\sqrt{5}}{8}$。$\because9-4\sqrt{5}=\sqrt{81}-\sqrt{80}＞0$，$\therefore\frac{9-4\sqrt{5}}{8}＞0$，即$\frac{3-\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{8}＞0$。$\therefore\frac{3-\sqrt{5}}{2}＞\frac{3}{8}$。
(2)解：$\because(3\sqrt{2}-1)-(1+2\sqrt{2})=3\sqrt{2}-1-1-2\sqrt{2}=\sqrt{2}-2＜0$，$\therefore3\sqrt{2}-1＜1+2\sqrt{2}$。

4. 利用作商法比较$4-\sqrt{3}与2+\sqrt{3}$的大小.

答案： 4.解：$\frac{4-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(4-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=11-6\sqrt{3}$，由$\sqrt{121}＞\sqrt{108}＞\sqrt{100}$，可知$11＞6\sqrt{3}＞10$，$\therefore11-6\sqrt{3}＜1$，$\therefore\frac{4-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}＜1$，$\therefore4-\sqrt{3}＜2+\sqrt{3}$。

5. 比较大小：$\frac{1}{\sqrt{5}-2}与\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$.

答案： 5.解：$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}+2$，$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$，$\because\sqrt{5}+2＜\sqrt{6}+\sqrt{5}$，$\therefore\frac{1}{\sqrt{5}-2}＜\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$。

6. 比较大小：$\sqrt{12}-\sqrt{11}与\sqrt{11}-\sqrt{10}$.

答案： 6.解：$\sqrt{12}-\sqrt{11}=(\sqrt{12}-\sqrt{11})×\frac{\sqrt{12}+\sqrt{11}}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}=\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，$\sqrt{11}-\sqrt{10}=(\sqrt{11}-\sqrt{10})×\frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$，$\because\sqrt{12}＞\sqrt{10}$，$\therefore\sqrt{12}+\sqrt{11}＞\sqrt{11}+\sqrt{10}$，$\therefore\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}＜\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$，$\therefore\sqrt{12}-\sqrt{11}＜\sqrt{11}-\sqrt{10}$。