《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

【变式4】如图,网格中每个小正方形的边长都是1,依次完成下列各问:
(1)任选一点作为原点,建立平面直角坐标系;
(2)写出A,B,C,D,E各点的坐标;
(3)求五边形ABCDE的面积.

答案：

(1)解:如图所示
(2)A(0,2),B(1,0),C(3,0),D(4,2),E(3,3).
(3)S五边形ABCDE=S△ADE+S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$×4×1+$\frac{(2 + 4)×2}{2}$=2 + 6=8.

【拓展1】如图,A(-4,0),B(6,0),C(2,4),D(-3,2).
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)求△BCD的面积;
(3)在y轴上找一点P,使△APB的面积等于四边形ABCD面积的一半.求P点的坐标.

答案：
(1)解:作DE⊥x轴于点E,CF⊥x轴于点F.
∵A(-4,0),B(6,0),C(2,4),D(-3,2),
∴AE = 1,EF = 5,BF = 4,AB = 10,DE = 2,CF = 4,
∴S四边形ABCD=S△ADE+S四边形CDEF+S△BCF=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×(2 + 4)×5+$\frac{1}{2}$×4×4=24.
(2)S△BCD=S四边形ABCD - S△ABD=24 - $\frac{1}{2}$×10×2=14.
(3)
∵S△APB=$\frac{1}{2}$AB·OP=$\frac{1}{2}$×24,
∴OP = 2.4,
∴P点坐标为(0,2.4)或(0,-2.4).

【拓展2】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(0,2),B(-2,0),C(4,0).


(1)如图1,三角形ABC的面积为6;
(2)如图2,将点B向右平移7个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到对应点D.
①求三角形ACD的面积;
②P(m,3)是一动点,若三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积,求出点P的坐标.
【方法指导】已知坐标系中图形的面积,求点的坐标时,可将点的横(纵)坐标转化为到坐标轴的距离,利用面积求得线段长,再转化为点的坐标.
(2)①连接OD.由题意,得D(5,4),S△ADC=S△AOD+S△ODC - S△AOC=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×4×4 - $\frac{1}{2}$×2×4=9.
②由题意,得$\frac{1}{2}$×2×|m|=$\frac{1}{2}$×2×4,解得m = ±4,
∴点P的坐标为(-4,3)或(4,3).

答案：
(1)6 解:
∵点A(0,2),B(-2,0),C(4,0),
∴OA = 2,OB = 2,OC = 4,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×(2 + 4)×2=6.
(2)①连接OD.由题意,得D(5,4),S△ADC=S△AOD+S△ODC - S△AOC=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×4×4 - $\frac{1}{2}$×2×4=9.
②由题意,得$\frac{1}{2}$×2×|m|=$\frac{1}{2}$×2×4,解得m = ±4,
∴点P的坐标为(-4,3)或(4,3).