《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版》

8. 方程$2x - y = 1和2x + y = 7$的公共解是(D)
A.$\begin{cases}x = 0,\\y = -1\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = 0,\\y = 7\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 1,\\y = 5\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases} $

答案： D

【变式】方程组$\begin{cases}x - y = 2,\\3x = 4y + 5\end{cases} $的解是$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$。

答案： {x=3,
y=1

9. 已知关于$x,y的方程x^{2m - n - 2} + 4y^{m + n + 1} = 6$是二元一次方程,则$m,n$的值为(A)
A.$m = 1,n = -1$
B.$m = -1,n = 1$
C.$m = \frac{1}{3},n = -\frac{4}{3}$
D.$m = -\frac{1}{3},n = \frac{4}{3}$

答案： A

10. 若$3a^{2n + m}和4a^{n - 2m}都是2a^{5}$的同类项,则$m = $-1,$n = $3。

答案： -1 3

11. 若方程组$\begin{cases}4x + 3y = 1,\\mx + (m - 1)y = 3\end{cases} 的解中x和y$的值相等,则$m = $11。

答案： 11

12.(整体思想)整体代入就是把某些部分看成一个整体,则能使复杂的问题简单化。例如在解方程组$\begin{cases}x - y - 1 = 0,①\\4(x - y) - y = 5②\end{cases} $时,把①变形：$x - y = 1$③,把③代入②中,求得$x = $0,$y = $-1；利用整体代入思想,已知$\begin{cases}3x^{2} - 2xy + 12y^{2} = 47,\\2x^{2} + xy + 8y^{2} = 36,\end{cases} 则x^{2} + 4y^{2} = $17。

答案： 0 -1 17

13. 用代入消元法解下列方程组：
(1)$\begin{cases}3x - y = -4,①\\x - 2y = -3;②\end{cases} $
(2)$\begin{cases}3x - 4(x - 2y) = 5,①\\x - 2y = 1.②\end{cases} $

答案：
(1)解:由①得y=3x+4,③,将③代入②,得x-2(3x+4)=-3,解得x=-1.将x=-1代入②,得-1-2y=-3,得y=1.
∴方程组的解为{x=-1,
y=1.
(2)解:将②代入①,得3x-4=5,x=3.将x=3代入②,得3-2y=1,y=1.
∴方程组的解为{x=3,
y=1.

14.(整体思想)阅读材料：
善于思考的小军在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3,①\\4x + 11y = 5②\end{cases} $时,采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形,得$4x + 10y + y = 5$,
即$2(2x + 5y) + y = 5$。③
把方程①代入③,得$2×3 + y = 5$,
$\therefore y = -1$。
把$y = -1$代入①,得$x = 4$。
$\therefore方程组的解为\begin{cases}x = 4,\\y = -1.\end{cases} $
请你模仿小军的“整体代换”法解方程组：$\begin{cases}3x - 2y = 5,①\\9x - 4y = 19.②\end{cases} $

答案： 解:把②变形,得3x+2(3x-2y)=19.③,把①代入③,得3x+10=19,x=3.把x=3代入①,得y=2.
∴原方程组的解为{x=3,
y=2.