《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例4 如图所示.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

答案：
(1)终边在OA位置上的角的集合为{α|α=45°+k·360°,k∈Z}；终边在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}
解析：OA对应的角为45°，所以终边在OA位置的角的集合为{α|α=45°+k·360°,k∈Z}；OB对应的角为-30°，所以终边在OB位置的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}。
(2){α|-30°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}
解析：阴影部分包括边界，是从-30°到45°的范围，所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|-30°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}。

活学活用 如图1,2，写出顶点在原点、始边为x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合.

答案： 图1：{α|300°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}；图2：{α|-120°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}
解析：图1中，阴影部分从300°到75°，所以集合为{α|300°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}；图2中，阴影部分从-120°到60°，所以集合为{α|-120°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}。

例5 若α是第一象限角，则-α，2α，α/3分别是第几象限角？

答案： -α是第四象限角；2α可能是第一、二象限角或终边在y轴正半轴上；α/3可能是第一、二、三象限角
解析：α是第一象限角，即$2kπ＜α＜2kπ+\frac{π}{2}(k∈Z)。$则$-2kπ-\frac{π}{2}＜-α＜-2kπ，$所以-α是第四象限角。4kπ＜2α＜4kπ+π，所以2α可能是第一、二象限角或终边在y轴正半轴上。$\frac{2kπ}{3}＜\frac{α}{3}＜\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{6}，$k=3n时，$\frac{α}{3}$在第一象限；k=3n+1时，$\frac{α}{3}$在第二象限；k=3n+2时，$\frac{α}{3}$在第三象限（n∈Z）。

活学活用 若α是第四象限角，则角2α的终边在________，角α/2的终边在________.

答案： 第三或第四象限或终边在y轴负半轴上；第二或第四象限
解析：α是第四象限角，即$2kπ+\frac{3π}{2}＜α＜2kπ+2π(k∈Z)。$4kπ+3π＜2α＜4kπ+4π，所以2α的终边在第三或第四象限或y轴负半轴上。$kπ+\frac{3π}{4}＜\frac{α}{2}＜kπ+π，$k为偶数时，$\frac{α}{2}$在第二象限；k为奇数时，$\frac{α}{2}$在第四象限。