《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 比较下列各组数的大小.（填“＞”“＜”或“=”）
①$1.8^{2.2}$______$1.8^{3.2}$
②$0.3^{-0.4}$______$0.3^{-0.6}$
③$2.1^{0.3}$______$0.9^{3.1}$
④$\left(\frac{4}{10}\right)^{\frac{1}{3}}$______$\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{1}{3}}$

答案： ①＜；②＞；③＞；④＜
解析：①$y=1.8^x$增函数，$2.2＜3.2$，故$1.8^{2.2}＜1.8^{3.2}$；②$y=0.3^x$减函数，$-0.4＞-0.6$，故$0.3^{-0.4}＞0.3^{-0.6}$；③$2.1^{0.3}＞1$，$0.9^{3.1}＜1$，故$2.1^{0.3}＞0.9^{3.1}$；④$y=x^{\frac{1}{3}}$增函数，$\frac{4}{10}＜\frac{9}{16}$，故$\left(\frac{4}{10}\right)^{\frac{1}{3}}＜\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{1}{3}}$。

活学活用（1）已知$a=0.91^{0.92}$，$b=0.91^{0.93}$，$c=0.92^{0.91}$，则（ ）
A. $b＞c＞a$
B. $b＞a＞c$
C. $c＞b＞a$
D. $c＞a＞b$

答案： D
解析：$y=0.91^x$减函数，$0.92＜0.93$，故$a=0.91^{0.92}＞b=0.91^{0.93}$。$y=x^{0.91}$在$(0,+\infty)$增函数，$0.91＜0.92$，故$c=0.92^{0.91}＞a=0.91^{0.92}$，所以$c＞a＞b$，选D。

活学活用（2）[多选题]下列说法正确的是（ ）
A. $(\sqrt{2})^{0.2}＜(\sqrt{2})^{0.4}$
B. $\left(\frac{1}{2}\right)^{0.2}＜\left(\frac{1}{2}\right)^{0.4}$
C. $3^{0.3}＞0.3^3$
D. $\left(\frac{16}{25}\right)^{0.5}＜\left(\frac{9}{16}\right)^{0.5}$

答案： AC
解析：A.$y=(\sqrt{2})^x$增函数，$0.2＜0.4$，正确；B.$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$减函数，$0.2＜0.4$，应$\left(\frac{1}{2}\right)^{0.2}＞\left(\frac{1}{2}\right)^{0.4}$，错误；C.$3^{0.3}＞1$，$0.3^3=0.027＜1$，正确；D.$y=x^{0.5}$增函数，$\frac{16}{25}＞\frac{9}{16}$，应$\left(\frac{16}{25}\right)^{0.5}＞\left(\frac{9}{16}\right)^{0.5}$，错误。故选AC。

例2（1）不等式$4^x＜4^{3 - x}$的解集是______.

答案： $(-\infty,\frac{3}{2})$
解析：$4^x＜4^{3 - x}$，底数相同，指数函数$y=4^x$增函数，故$x＜3 - x$，$2x＜3$，$x＜\frac{3}{2}$，解集为$(-\infty,\frac{3}{2})$。

例2（2）解关于x的不等式$a^{2x + 1}≤a^{x - 5}(a＞0$，且$a≠1)$

答案： 当$a＞1$时，解集为$(-\infty,-6]$；当$0＜a＜1$时，解集为$[-6,+\infty)$
解析：$a＞1$时，$2x + 1≤x - 5$，$x≤-6$；$0＜a＜1$时，$2x + 1≥x - 5$，$x≥-6$。