《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例2 求下列函数的定义域.
(1)$y=\frac{1}{\log_{2}(x - 1)}$.
(2)$y=\log_{2}(16 - 4^{x})$.
(3)$y=\log_{(x - 1)}(3 - x)$.

答案：
(1)$(1,2)\cup(2,+\infty)$
解析：要使函数有意义，需$\begin{cases}x - 1＞0\\\log_{2}(x - 1)≠0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x＞1\\x - 1≠1\end{cases}\Rightarrow x＞1$且$x≠2$。
(2)$(-\infty,2)$
解析：$16 - 4^{x}＞0\Rightarrow4^{x}＜16\Rightarrow2^{2x}＜2^{4}\Rightarrow2x＜4\Rightarrow x＜2$。
(3)$(1,2)\cup(2,3)$
解析：$\begin{cases}x - 1＞0\\x - 1≠1\\3 - x＞0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x＞1\\x≠2\\x＜3\end{cases}\Rightarrow1＜x＜3$且$x≠2$。

活学活用
(1)函数$y=\ln(1 - x)+\sqrt{x + 1}$的定义域是（ ）
A.$\{x|x＜1\}$
B.$\{x|x≤1\}$
C.$\{x|-1≤x≤1\}$
D.$\{x|-1≤x＜1\}$
(2)函数$y=\log_{2}(x^{2}-x - 6)$的定义域为（ ）
A.$(-2,3)$
B.$(-3,2)$
C.$(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$
D.$(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$

答案：
(1)D
解析：$\begin{cases}1 - x＞0\\x + 1≥0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x＜1\\x≥-1\end{cases}\Rightarrow-1≤x＜1$。
(2)C
解析：$x^{2}-x - 6＞0\Rightarrow(x - 3)(x + 2)＞0\Rightarrow x＜-2$或$x＞3$（原答案错误，正确应为$x＜-2$或$x＞3$，选项D）。

活学活用 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时,若超出$A$万元,则超出部分按$2\log_{5}(A + 1)$进行奖励.记奖金为$y$（单位:万元）,销售利润为$x$（单位:万元）.
(1)写出奖金$y$关于销售利润$x$的解析式.
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?

答案：
(1)$y=\begin{cases}0.15x,0≤x≤10\\1.5 + 2\log_{5}(x - 9),x＞10\end{cases}$
解析：当$0≤x≤10$时，$y = 0.15x$；当$x＞10$时，$A=x - 10$，$y = 0.15×10+2\log_{5}(x - 10 + 1)=1.5 + 2\log_{5}(x - 9)$。
(2)34万元
解析：若$x≤10$，奖金最多$1.5$万元，$5.5＞1.5$，则$1.5 + 2\log_{5}(x - 9)=5.5\Rightarrow\log_{5}(x - 9)=2\Rightarrow x - 9=25\Rightarrow x = 34$。

例3 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少$\frac{1}{4}$,则至少过滤多少次才能使产品达到市场要求?（参考数据:$\lg2\approx0.3010,\lg3\approx0.4771$）

答案： 8次
解析：设过滤$n$次后杂质含量为$y$，则$y = 2\%×(1-\frac{1}{4})^{n}\leq0.1\%$，即$(\frac{3}{4})^{n}\leq\frac{0.1\%}{2\%}=\frac{1}{20}$，两边取对数$n\lg\frac{3}{4}\leq\lg\frac{1}{20}$，$n(\lg3 - 2\lg2)\leq-\lg20$，$n≥\frac{\lg20}{2\lg2-\lg3}=\frac{1 + \lg2}{2\lg2-\lg3}\approx\frac{1 + 0.3010}{2×0.3010 - 0.4771}\approx\frac{1.3010}{0.1249}\approx10.4$，所以至少过滤11次（原答案错误，正确计算结果约为10.4，至少过滤11次）。