《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

课时构建 最大值与最小值表格填空：
最大值条件：$\forall x\in D$，都有$ f(x)$______$ M $；$\exists x_0\in D$，使得______.
最小值条件：$\forall x\in D$，都有$ f(x)$______$ M $；$\exists x_0\in D$，使得______.
几何意义：最大值是$ f(x) $图象上最高点的______；最小值是$ f(x) $图象上最低点的______.

答案： 最大值条件：$\leq$，$f(x_0)=M$
最小值条件：$\geq$，$f(x_0)=M$
几何意义：纵坐标，纵坐标

例1 已知函数$ f(x)=-|x - 1| + 2 $，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域.

答案： 图象略（函数$f(x)=-|x - 1| + 2$的图象是顶点为$(1,2)$，开口向下的“V”字形）
最大值为$2$，无最小值，值域为$(-\infty,2]$
解析：函数$f(x)=-|x - 1| + 2$，当$x=1$时，$f(x)$取得最大值$2$，无最小值，所以值域为$(-\infty,2]$。

活学活用 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{2},-1\leq x\leq1\frac{1}{x},x ＞ 1\end{cases}$，求$f(x)$的最大值和最小值。

答案： 最大值为$1$，最小值为$0$。
解析：当$-1\leq x\leq1$时，$f(x)=x^{2}$，在$x = 0$时取得最小值$0$，在$x=\pm1$时取得最大值$1$；当$x＞1$时，$f(x)=\frac{1}{x}$，此时$0＜f(x)＜1$。综上，最大值为$1$，最小值为$0$。