《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例3 设函数$ f(x)=x^2 + bx + c $满足$ f(0)=f(2) $，则（ ）
A. $ f(-2) ＜ c ＜ f\left(\frac{3}{2}\right) $
B. $ f\left(\frac{3}{2}\right) ＜ c ＜ f(-2) $
C. $ f\left(\frac{3}{2}\right) ＜ f(-2) ＜ c $
D. $ c ＜ f\left(\frac{3}{2}\right) ＜ f(-2) $

答案： D
解析：因为$f(0)=f(2)$，所以函数$f(x)$的对称轴为$x=1$，$f(0)=c$。
函数$f(x)=x^2 + bx + c$的图象开口向上，
所以$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。
$f\left(\frac{3}{2}\right)$与对称轴$x=1$的距离为$\frac{1}{2}$，$f(0)$与对称轴的距离为$1$，$f(-2)$与对称轴的距离为$3$。
距离对称轴越远，函数值越大，所以$f\left(\frac{3}{2}\right) ＜ f(0) ＜ f(-2)$，即$c ＜ f\left(\frac{3}{2}\right) ＜ f(-2)$。

例4 已知$ f(x) $为$ R $上的增函数，则满足$ f\left(\frac{1}{x}\right) ＞ f(1) $的实数$ x $的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,1)$
B. $(-1,0)\cup(0,1)$
C. $(0,1)$
D. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

答案： B
解析：因为$f(x)$为$R$上的增函数，且$f\left(\frac{1}{x}\right) ＞ f(1)$，所以$\frac{1}{x} ＞ 1$，
当$x ＞ 0$时，$1 ＞ x$，即$0 ＜ x ＜ 1$；
当$x ＜ 0$时，$\frac{1}{x} ＞ 1$无解，但此时$\frac{1}{x} ＜ 0 ＜ 1$，不满足$\frac{1}{x} ＞ 1$，
又因为函数定义域为$xeq0$，所以$x$的取值范围是$(-1,0)\cup(0,1)$。

例5 若函数$ f(x)=ax^2 + (a - 3)x + 1 $在区间$[-1,+\infty)$上单调递减，则实数$ a $的取值范围是（ ）
A. $[-3,0)$
B. $(-\infty,-3]$
C. $[-2,0]$
D. $[-3,0]$

答案： D
解析：当$a=0$时，$f(x)=-3x + 1$，在$R$上单调递减，满足在$[-1,+\infty)$上单调递减；
当$aeq0$时，函数$f(x)$为二次函数，对称轴为$x=-\frac{a - 3}{2a}$，
因为函数在$[-1,+\infty)$上单调递减，所以$\begin{cases}a ＜ 0 \\-\frac{a - 3}{2a}\leq -1\end{cases}$，
由$-\frac{a - 3}{2a}\leq -1$，得$-(a - 3)\geq -2a$，即$-a + 3\geq -2a$，解得$a\geq -3$，
所以$-3\leq a ＜ 0$。
综上，实数$a$的取值范围是$[-3,0]$。

例1 (1)已知$ f(x)=\begin{cases} (3 - a)x - 4a,x ＜ 1, \\ x^2,x\geq1 \end{cases}$是$ R $上的增函数，那么$ a $的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,3)$
B. $(\frac{2}{5},3)$
C. $[\frac{2}{5},3)$
D. $(\frac{5}{2},3)$

答案： C
解析：因为函数$f(x)$是$R$上的增函数，
所以当$x ＜ 1$时，一次函数$y=(3 - a)x - 4a$单调递增，所以$3 - a ＞ 0$，即$a ＜ 3$；
当$x=1$时，需满足$(3 - a)×1 - 4a\leq1^2$，即$3 - 5a\leq1$，解得$a\geq\frac{2}{5}$；
综上，$a$的取值范围是$[\frac{2}{5},3)$。

(2)已知$ p:f(x)=\begin{cases} ax - 2,x\leq2, \\ \frac{a - 2}{x},x ＞ 2 \end{cases}(a\in R) $在$ R $上为增函数，$ q:g(x)=ax^2 + \frac{4}{3}x + 1(a\geq0) $在$[-1,2]$上单调递增，则$ p $是$ q $的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A
解析：对于$p$：函数$f(x)$在$R$上为增函数，
当$x\leq2$时，$f(x)=ax - 2$单调递增，所以$a ＞ 0$；
当$x ＞ 2$时，$f(x)=\frac{a - 2}{x}$单调递增，所以$a - 2 ＜ 0$，即$a ＜ 2$；
当$x=2$时，需满足$2a - 2\leq\frac{a - 2}{2}$，即$4a - 4\leq a - 2$，解得$a\leq\frac{2}{3}$；
所以$0 ＜ a\leq\frac{2}{3}$。
对于$q$：当$a=0$时，$g(x)=\frac{4}{3}x + 1$在$[-1,2]$上单调递增；
当$a ＞ 0$时，对称轴为$x=-\frac{\frac{4}{3}}{2a}=-\frac{2}{3a}\leq -1$，解得$a\leq\frac{2}{3}$，所以$0 ＜ a\leq\frac{2}{3}$；
综上，$q$中$a$的取值范围是$0\leq a\leq\frac{2}{3}$。
因为$p$中$a$的范围是$q$中$a$范围的真子集，所以$p$是$q$的充分不必要条件。