《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 某服装厂每天可以生产童装200套或西服50套，已知每生产1套童装需成本40元，可获得利润22元，每生产1套西服需成本150元，可获得利润80元.由于资金有限，该厂每月成本支出不超过23万元，为使盈利最大，若按每月30天计算，应安排生产童装和西服各多少天（天数为整数）？求出最大利润.

答案： 安排生产童装10天，西服20天，最大利润为61200元
解析：设生产童装$ x $天，西服$ (30 - x) $天，利润为$ y $元.成本：$ 200x×40 + 50(30 - x)×150\leq230000 $，即$ 8000x + 225000 - 7500x\leq230000 $，$ 500x\leq5000 $，$ x\leq10 $.利润$ y=200x×22 + 50(30 - x)×80=4400x + 120000 - 4000x=400x + 120000 $.因为$ x\leq10 $且为整数，所以当$ x=10 $时，$ y $最大，$ y=400×10 + 120000=124000 $元.最大利润为124000元.

例2 某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量$ y $（箱）与销售单价$ x $（元/箱）之间的函数关系式.

答案： $ y=-3x + 240(50\leq x\leq55) $
解析：由题意，$ y=90 - 3(x - 50)=-3x + 240 $，$ 50\leq x\leq55 $.

(2)求该批发商平均每天的销售利润$ w $（元）与销售单价$ x $（元/箱）之间的函数关系式.

答案： $ w=-3x^{2} + 360x - 9600(50\leq x\leq55) $
解析：$ w=(x - 40)y=(x - 40)(-3x + 240)=-3x^{2} + 360x - 9600 $，$ 50\leq x\leq55 $.

(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

答案： 售价为55元时，最大利润为1125元
解析：函数$ w=-3x^{2} + 360x - 9600 $的对称轴为$ x=60 $，在$ [50,55] $上单调递增，所以当$ x=55 $时，$ w $最大，$ w=-3×55^{2} + 360×55 - 9600=1125 $元.