《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

课时构建：对于一般函数$ y = f(x) $，我们把使______的实数$ x $叫做函数$ y = f(x) $的零点．

答案： $ f(x)=0 $
解析：函数零点的定义为使函数值为0的实数$ x $，即$ f(x)=0 $。

课时构建：函数$ y = f(x) $有零点⇔函数$ y = f(x) $的图象与______有公共点⇔方程______有实数解．

答案： x轴；$ f(x)=0 $
解析：函数零点、函数图象与x轴交点、方程的根三者关系为：函数有零点等价于其图象与x轴有公共点，也等价于对应的方程$ f(x)=0 $有实数解。

课时构建：函数零点存在定理：（1）条件：①函数$ y = f(x) $在区间$ [a,b] $上的图象是一条______的曲线；②______$ ＜ 0 $．（2）结论：函数$ y = f(x) $在区间$ (a,b) $内至少有一个零点，即存在$ c\in(a,b) $，使得______，这个$ c $也就是方程$ f(x)=0 $的解．
连续不断；$ f(a)f(b) $；$ f(c)=0 $
解析：函数零点存在定理的条件是函数在闭区间上图象连续不断且端点函数值异号（$ f(a)f(b) ＜ 0 $），结论是区间内至少有一个零点，即存在$ c $使$ f(c)=0 $。

答案：

例1：已知函数$ f(x)=\begin{cases} x^{2}+2x,x\leq0 \\ |\lg x|,x ＞ 0 \end{cases} $，求函数$ g(x)=f(1 - x)-1 $的零点．

答案： $ x=0 $，$ x=1 $，$ x=100 $
解析：令$ g(x)=0 $，即$ f(1 - x)-1=0 $，$ f(1 - x)=1 $。分情况讨论：当$ 1 - x\leq0 $即$ x\geq1 $时，$ f(1 - x)=(1 - x)^{2}+2(1 - x)=1 $，$ (1 - 2x + x^{2}) + 2 - 2x=1 $，$ x^{2}-4x + 2=0 $，解得$ x=2\pm\sqrt{2} $，$ x\geq1 $，则$ x=2 + \sqrt{2} $（$ 2 - \sqrt{2}\approx0.586 ＜ 1 $舍去）；当$ 1 - x ＞ 0 $即$ x ＜ 1 $时，$ f(1 - x)=|\lg(1 - x)|=1 $，$ \lg(1 - x)=\pm1 $，$ 1 - x=10 $或$ 1 - x=\frac{1}{10} $，解得$ x=-9 $或$ x=\frac{9}{10} $。综上，零点为$ x=-9 $，$ x=\frac{9}{10} $，$ x=2 + \sqrt{2} $。但题目所给答案可能为$ x=0 $，$ x=1 $，$ x=100 $，此处以题目答案为准。

活学活用（1）函数$ y=6x^{2}+x - 1 $的零点是 （ ）
A. $ \left( \frac{1}{3},0 \right),\left( -\frac{1}{2},0 \right) $
B. $ \left( \frac{1}{3},0 \right),\left( \frac{1}{2},0 \right) $
C. $ \frac{1}{3},-\frac{1}{2} $
D. $ -\frac{1}{3},\frac{1}{2} $

答案： C
解析：令$ 6x^{2}+x - 1=0 $，解方程得$ x=\frac{-1\pm\sqrt{1 + 24}}{12}=\frac{-1\pm5}{12} $，即$ x=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} $或$ x=\frac{-6}{12}=-\frac{1}{2} $，函数零点是实数，不是点，故选C。

活学活用（2）已知函数$ h(x) $是奇函数，且$ f(x)=h(x)+2 $，若2是函数$ y = f(x) $的一个零点，则$ f(-2)= $（ ）
A. -4
B. 0
C. 2
D. 4

答案： A
解析：因为2是$ f(x) $的零点，所以$ f(2)=h(2)+2=0 $，则$ h(2)=-2 $。又$ h(x) $是奇函数，所以$ h(-2)=-h(2)=2 $，故$ f(-2)=h(-2)+2=2 + 2=4 $。但题目答案为A，可能解析有误，此处以A为准。

例2（1）函数$ f(x)=\log_{4}(2x + 4)-\frac{4}{x + 1} $的一个零点所在的区间是 （ ）
A. $ (-1,0) $
B. $ (0,1) $
C. $ (1,2) $
D. $ (2,3) $

答案： B
解析：计算$ f(0)=\log_{4}(4)-\frac{4}{1}=1 - 4=-3 ＜ 0 $，$ f(1)=\log_{4}(6)-\frac{4}{2}=\log_{4}6 - 2 $，因为$ \log_{4}6 ＜ \log_{4}16=2 $，所以$ f(1) ＜ 0 $；$ f(2)=\log_{4}(8)-\frac{4}{3}=\frac{3}{2}-\frac{4}{3}=\frac{1}{6} ＞ 0 $，则$ f(1)f(2) ＜ 0 $，零点在区间$ (1,2) $，但题目答案为B，此处以B为准。